如何求导数？

Question

如题所述

Answer 1

导数是一种数学工具，用于描述函数值随自变量变化的速率。在微积分中，求导数是基础且重要的步骤。
以下是一些求导数的方法：
1. **基本初等函数的导数**：对于一些基本的初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，它们的导数可以直接从定义中得出。例如，$f(x) = x^n$ 的导数是 $f'(x) = nx^{n-1}$。
2. **链式法则**：如果 $f(u)$ 是关于 $u$ 的函数，而 $u$ 是关于 $x$ 的函数，那么 $f(u)$ 关于 $x$ 的导数是 $(f \circ u)'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x)$。
3. **乘积法则**：如果 $f(x) = u(x) \cdot v(x)$，那么 $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$。
4. **商的法则**：如果 $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$，那么 $f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$。
5. **反函数的导数**：如果 $f(x)$ 有反函数 $f^{-1}(y)$，那么 $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$，其中 $y = f(x)$。
6. **复合函数的导数**：如果 $g(y) = f(u(y))$，其中 $u$ 是关于 $y$ 的函数，那么 $(g \circ u)'(y) = f'(u(y)) \cdot u'(y)$。
7. **高阶导数**：对于一个函数 $f(x)$，它的第 $n$ 阶导数是 $(f^{(n)}(x))' = f^{(n+1)}(x)$。
8. **利用导数表和计算器**：对于一些已知的函数，我们可以查阅导数表或者使用计算器来求其导数。
以上是求导数的一些基本方法。在实际应用中，根据具体的问题和函数形式，可以选择合适的方法来求导数。

Answer 2

函数求导函数的基本方法就是根据定义：

在实际应用中，我们利用这个公式，灵活应用复合函数求导法、函数四则运算求导法和反函数求导法等基本方法，可以解决绝大多数的求导问题。

Answer 3

ln(secx+tanx)
=ln(1/cosx+sinx/cosx)
=ln[(sinx+1)/cosx]
所以In(secx+tanx)的导数
=1/(sinx+1)/cosx * [(sinx+1)/cosx]'
=cosx/(sinx+1)*[cosx*cosx-(sinx+1)*(-sinx)]/cos^2x
=cosx/(sinx+1)*(cos^2x +sin^2x+sinx)/cos^2x
=cosx/(sinx+1)*(1+sinx)/cos^2x
=1/cosx