如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，点P是斜边AB上一个动点，点D是CP的中点，延长BD至E，

Question

使DE=BD,连结AE。①求四边形PCEA的面积，②当AP的长为何值时，四边形PCEA是平行四边形。③当AP的长为何值时，四边形PCEA是直角梯形

Answer 1

由PD=CD,BD=DE,角BDP=角CDE,三角形BDP和三角形EDC全等，则BP=CF，角DBP=角DEC，所以BP平行于CE，则梯形PCEA的高为BCcos30=根号三，
①面积=(CE+PA）*1/2=(BP+PA）*根号三/2=4根号三/2=2根号三
②四边形PCEA是平行四边形时CE=AP，则AP=BP，即AP=1/2AB=2
③四边形PCEA是直角梯形时，CP就是高，即为根号三，又∠BAC=30°，所以AP=3

Answer 2

解，连接PE，线段PE和AC的交点为F。
∵点D是CP的中点，（已知）
∴DP=DC，
∵DE=BD（已知）
∴四边形BCEP为平行四边形。（四边形对角线的交点平分对角线，四边形为平行四边形。）
PE∥BC，PE=BC
∵∠ACB=90°，
∴∠AFP=90°，PE⊥AC。
在Rt△ABC中，，∠BAC=30°，AB=4
所以，BC=(1/2)•AB=(1/2 ) X 4 = 2（直角三角形中，30度角所对的边等于斜边的1/2）
AC=√(AB²-BC²)
=√(4²-2²)
=2√3
结论①：
S四边形PCEA=S⊿APC+S⊿AEC
=(1/2)•AC•PF+(1/2)•AC•FE
=(1/2)•AC•(PF+FE)
=(1/2)•AC•PE
=(1/2)•AC•BC
=(1/2) X (2√3) X 2
=2√3
在平行四边形BCEP中，AB∥EC，PB=EC。
若四边形PCEA为平行四边形，须： AP=EC
即，PB=AP，P为AB的中点，
AP=(1/2)AB=(1/2)X4=2。
结论②：当AP=2时，四边形PCEA是平行四边形。
若四边形PCEA是直角梯形，须：PC⊥AB。
在⊿ABC中，∠BAC=90² - ∠ABC
在⊿CBP中，∠BCP=90² - ∠ABC
∴∠BCP=∠BAC=30°
BP=(1/2)BC （直角三角形中，30度角所对的边等于斜边的1/2）
=(1/2) X 2 = 1
AP=AB-BP
=4-1
=3
结论③：当AP=3时，四边形PCEA是直角梯形。

Answer 3

解：
由PD=CD,BD=DE,∠BDP=∠CDE,
△BDP和△EDC全等，
则BP=CF，∠DBP=∠DEC，
∴BP平行于CE，
则梯形PCEA的高为BCcos30°=√3，
①S=(CE+PA）×1/2
=(BP+PA）×√3/2
=4√3/2=2√3
②四边形PCEA是平行四边形时CE=AP，
则AP=BP，
即AP=1/2AB=2
③四边形PCEA是直角梯形时，
CP就是高，
即为根号三，
又∵∠BAC=30°，
∴AP=3

Answer 4

解：作CH⊥AB，垂足为H，则CH= 3 ．
连接EP，因为CD=DP，BD=DE，得▱PBCE．则CE=PB，EP=CB=2．
（1）S APCE =(CE+AP)CH÷2=AB•CH÷2=2 3 ，
四边形PCEA的面积=1 2 （CE+AP）•CH=1 2 AB•CH=2 3 ；

（2）当AP=2时，得▱PCEA，∵AP=2=PC=EC，且EC∥AP；

（3）当AP=3时，P、H重合，EC∥AP，∠CPA=90°，
AP=3≠1=PB=EC，得直角梯形PCEA；
当AP=1时，△APE是直角三角形，∠EAP=90°，
EC∥AP，AP=1≠3=PB=EC，得直角梯形PCEA．