已知中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的双曲线C过点 ,且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点F, (

已知中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的双曲线C过点 ,且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点F, (Ⅰ)求双曲线C的方程; (Ⅱ)命题:“过椭圆 的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交椭圆于A.B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,则 为定值,且定值是 ”。命题中涉及了这么几个要素:给定的圆锥曲线E,过该圆锥曲线焦点F的弦AB,AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M,AB的长度与F,M两点间的距离的比值.试类比上述命题,写出一个关于双曲线C的类似的正确命题,并加以证明; (Ⅲ)试推广(Ⅱ)中的命题,写出关于圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的统一的一般性命题(不必证明)。

解:(Ⅰ)依题意,可设双曲线C的方程为
由已知得C的一个焦点
所以C的另一个焦点为


又a=2,
所以,
所以,双曲线C的方程为
(Ⅱ)关于双曲线C的类似命题为:过双曲线 的焦点F 1 (2,0)作与x轴不垂直的任意直线l交双曲线于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,则 为定值,且定值是
证明如下:由于l与x轴不垂直,可设直线l的方程为:y=k(x-2),
①当k=0时,l与x轴重合, ,命题正确;
②当k≠0时,由
依题意l与C有两个交点A,B,所以,


所以线段AB的中点P的坐标为
AB的垂直平分线MP的方程为:
令y=0,解得:
,所以,



所以,
(Ⅲ)过圆锥曲线E的焦点F作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线l交E于A,B两点,线段AB的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M,则 为定值,定值是 (其中e为圆锥曲线E的离心率)。

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