人教版高一上学期数学问题（函数）求解

Question

已知 f(x)=x^3+x (x∈R).
(1)判断 f(x)在（+∞，-∞）上的单调性，并证明；
（2）求证：满足f(x)=a (a为常数)的实根x 至多有一个。

Answer 1

令x1<x2
f(x1)-f(x2)
=x1^3+x1-x2^3-x2
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2+1)
x1>x2,则x1-x2>0
x1^2+x1x2+x2^2+1=(x1+x2/2)^1+3x2^2/4+1≥1>0
所以(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2+1)>0
即x1<x2时f(x1)>f(x2)
所以是增函数

假设有不止一个,则至少两个
假设是m和n，且m<n
即f(m)=a且f(n)=a
则因为是增函数
f(m)<f(n)
这和f(m)=a且f(n)=a矛盾
所以 至多有一个

Answer 2

（1）单增。f'(x)=3x^2+1>0
（2）设g(x)=x^3+x-a g(x)=3x^2+1>0，单增的函数与x轴至多1个交点，所以g（x）=0至多1个根，所以满足f(x)=a (a为常数)的实根x 至多有一个