2010年浙江省高中数学竞赛试卷
说明：
本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的22题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1．化简三角有理式 的值为 （ ）
A． 1 B． C． D．1+
2．若 ，则 是 的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．集合P={ }，则集合 为 （ ）
A． B．
C． D．
4．设 , 为两个相互垂直的单位向量。已知 = ， = ， =r +k .若△PQR为等边三角形，则k，r的取值为 （ ）
A． B．
C． D．
5．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB= BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
6．设 ， 分别为等差数列与等比数列，且 ，则以下结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
7．若 的二项式展开式中系数最大的项为 （ ）
A．第8项 B．第9项
C．第8项和第9项 D．第11项
8．设 ， ，则下述关系式正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
9．下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
10．设有算法如下：
如果输入A=144, B=39,则输出的结果是 （ ）
A．144 B．3 C． 0 D．12
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
11．满足方程 所有实数解为 。
12． 函数 的最小正周期为 ．
13．设P是圆 上一动点，A点坐标为 。当P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程为 .
14．设锐角三角形ABC的边BC上有一点D，使得AD把△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC的最小内角的取值范围为 .
15．设z是虚数， ，且 ，则z的实部取值范围为 .
16．设 。如果对任何 ，都有 ，则k的最小值为 .
17．设 ， 。当函数 的零点多于1个时， 在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为 .
三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）
18．设数列 ，
问：（1）这个数列第2010项的值是多少；
（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.
19．设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。
20．已知椭圆 ， 以 （0，1）为直角顶点，边AB、BC与椭圆交于两点B、C。若△ABC面积的最大值为 ，求 的值。
四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）
21．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB上的点。记 。证明： 。
22．（1）设 ，平面上的点如其坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线 过格点（n，m），记 对应的曲线段上的格点数为N。证明：
。
（2）进而设a是一个正整数，证明：
。
（注 表示不超过x的最大整数）
参考答案
1．解答为 A。
。
也可以用特殊值法
2．解答为 B。p成立 ，所以p 成立，推不出q一定成立。
3．解答：D。 画数轴，由绝对值的几何意义可得 ，
。
4．解答．C． ，
即 。
5．解答：C。建立空间直角坐标系，以 所在的直线为 轴，在平面 上垂直于 的直线为 轴， 所在的直线为 轴。则
， 。
6．解答：A。
。
7．解答：D． ，r=10，第11项最大。
8．解答： D。函数 为偶函数，在（0， ）上， 为减函数，而 ，
，所以 。
9．解答：C．根据题意，该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。
10．解答 B （1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
11． 。
解答 变形得 ，解得
。
12． ．
解答 。
13． .
解答 设M的坐标为
，因为P点在圆上，所以 所以P点轨迹为 。
14．30<x<45或22.5<x<30.
解答 如图，（1）AD=AC=BD；（2）DC=AC，AD=BD。
在（1）中，设最小的角为x，则2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30<x<45；
在（2）中，设最小的角为x，则3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5<x<30
15． .
解答 设
当 ，无解；当 。
16． .
解答
分子 ，所以k的最小值为 。
17．0或q.
解答 因为函数 为偶函数，由对称性以及图象知道， 在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q。
三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）
18．解（1）将数列分组：
因为1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2016，
所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为 。 --------- 10分
（2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1，所以第2010个1出现在第4019组，而第4019组中的1位于该组第2010位，所以第2010个值为1的项的序号为（1+2+3+…+4018）+2010=809428。 ------------ 17分
19．解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为 ，则有 ，且
（*1）
----------------- 5分
即有
。 （*2）
于是有 。因此 中必有一个取5。不妨设 ，代入（*1）式，得到
。 ----------------10分
此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取 9，8，…，2，1），共9种放法。同理可得y=5或者z=5时，也各有9种放法，但有 时二种放法重复。因此可得共有
9×3－2 = 25种放法。 ---------------------17分
20．解： 不妨设 的方程 ，则 的方程为 。
由 得：
由 得：
从而有
--------5分
于是 。
令 ，有
--------- 10分
因为 时等号成立。
因此当 ------------- 14分
令
--------- 17分
四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）
21．证明 由 ---------5分
。 ---------- 10分
所以，
= 。 ----20分
因此 ，等号成立，当且仅当，D与C重合，
或E与A重合，或F与B重合。 ----- 25分
22．证明 （1）考虑区域 且该区域上的格点为nm个。
又该区域由区域E：
以及区域F： 组成。
在区域E上，直线段 上的格点为 个，
所以区域E上的 格点数为 。 ----------------- 5分
同理区域F上的格点数为 。 ----------------- 10分
由容斥原理， 。 -------------------------15分
（2）当a是一个正整数时，曲线 上的点（ ） 都是格点，所以（1）中的N=n。同时， 。将以上数据代入（1）得
。 ----------------- 25分
追问11年呀，拜托