数学题（因式分解）~

Question

1.已知a+b+c=0 求a的3次方+a的平方c+b的平方c-abc+b的3次方的值
2.已知a满足公式a的平方-a-1=0,求代数式a的8次方+7a的-4次方的值
3.计算(a+b+c-d)的平方+(a+b-c+d)的平方+(a+b-c+d)的平方+(-a+b+c+d)的平方

Answer 1

1.
a+b+c=0
a的3次方+a的平方c+b的平方c-abc+b的3次方
= (a的3次方+b的3次方) + (a的平方c+b的平方c-abc)
= (a+b) (a的平方+b的平方-ab) + c (a的平方+b的平方-ab)
= (a+b+c) (a的平方+b的平方-ab)
=0

2
∵a的平方-a-1=0
∴a的平方=a+1
∴a的4次方=(a的平方）的平方=(a+1)的平方=a的平方+2a+1=(a+1)+2a+1=3a+2
∴a的8次方=(a的4次方)的平方=（3a+2)的平方=9a^2+12a+4=9(a+1)+12a+4=21a+13
∴a的8次方+7a的-4次方
=(21a+13)+7/(3a+2)
=(63a^2+81a+26+7)/(3a+2=
=(63a+63+81a+26+7)/(3a+2)
=(144a+96a)/(3a+2)
=48(3a+2)/(3a+2)
=48

3
(a+b+c-d)的平方+(a+b-c+d)的平方+(a+b-c+d)的平方+(-a+b+c+d)的平方
=[(a+b)+(c-d)]^2+[(a+b)-(c-d)]^2+[(a-c)+(b+d)]^2+[(a-c)-(b+d)]^2
= { (a+b)^2+(c-d)^2+2(a+b)(c-d) } + { (a+b)^2+(c-d)^2-2(a+b)(c-d) } + { (a-c)^2+(b+d)^2+2(a-c)(b+d) } + { (a-c)^2+(b+d)^2+2(a-c)(b+d) }
= 2 (a+b)^2+2(c-d)^2 + 2 (a-c)^2+2(b+d)^2
= 2 (a^2+b^2+2ab + c^2+d^2-2cd + a^2+c^2-2ac + b^2+d^2+2bd)
=2(2a^2+2b^2+2c^2+2d^2+ab-cd-ac+bd)

Answer 2

因为a+b+c=0 所以a+b=-c
a^3+a^2c+b^2c-abc+b^3=a^3+b^3+(a^2+b^2)c-abc=a^3+b^3+(a^2+b^2)(-a-b)-abc
=a^3+b^3-a^3-b^3-a^2b-ab^2-abc=-ab(-a-b)-abc=-ab(-c)-abc=0
(a+b+c-d)^2+(a+b-c+d)^2+(a-b+c+d)^2+(-a+b+c+d)^2
=[(a+b)+(c-d)]^2+[(a+b)-(c-d)]^2+[(a-b)+(c+d)]^2+[-(a-b)+(c+d)]^2
=2[(a+b)^2+(c-d)^2+(a-b)^2+(c+d)^2]
=2[(a+b)^2+(a-b)^2+(c-d)^2+(c+d)^2]
=2[2(a^2+b^2+c^2+d^2)]=4a^2+4b^2+4c^2+4d^2