一、损伤变量
建立材料损伤理论，首先要采用可以描述材料损伤状况的变量。材料在损伤过程中，其内部微裂纹、孔隙之间会有相互的作用影响，这时并不存在某一个孤立的控制损伤发展状态的裂纹，人们也难以了解掌握这些微裂纹的具体形状、尺度和分布及其相互影响，更无从确定各裂纹尖端附近的应力场，于是损伤力学就采用了如下的一种研究途径：将含有众多分散的微裂纹区域看成是局部均匀场，在这个场内，考虑全部裂纹的整体效应。找出一个能够表达这个均匀场的场变量，称为损伤变量，用来描述材料的损伤状态。从热力学的观点看，损伤变量是一种内部状态变量，它能反映物质结构的不可逆变化过程。
根据不同的损伤机制，应选择不同的损伤变量。如果材料内的损伤是没有方向性的，则称之为各向同性损伤。这时要描述损伤状态只需用一个标量场即可，即在各个方向的损伤变量的数值都相同。如果考虑到损伤的各向异性，损伤变量可以是一个矢量、二阶张量或四阶张量，甚至在有的研究中用过八阶张量的损伤变量。具体的损伤变量的形式要根据所研究问题的类型及其相应的损伤机制去决定。因为物质是多种多样的，损伤也形形色色。即使是同一物质，外因不同造成的损伤也会不同。总而言之，由于各种物理和化学的原因，如受载、承受高温、受到辐射或腐蚀而造成的各种物理的或化学的变化，结构改变、相变化、成分变化都属于损伤的内容。只不过在宏观的角度，人们更多注意的是材料结构的改变（微裂纹、微孔洞等）在宏观上的表现以及由此造成的材料的力学性能劣化。
下面是几个表达各向同性损伤变量的示例：
Kachanov（1958）认为材料劣化的主要机制是由于微缺陷导致的有效承载面积的减小，提出用连续度的概念来描述材料的损伤。如图10-1所示，考虑一均匀受拉的直杆，设无损状态的横截面面积为A，损伤后的有效承载面积减小为～A，则连续度的物理意义为有效承载面积与无损状态的横截面面积之比，即Kachanov（1958）认为材料劣化的主要机制是由于微缺陷导致的有效承载面积的减小，提出用连续度的概念来描述材料的损伤。如图10-1所示，考虑一均匀受拉的直杆，设无损状态的横截面面积为A，损伤后的有效承载面积减小为～A，则连续度的物理意义为有效承载面积与无损状态的横截面面积之比，即Kachanov（1958）认为材料劣化的主要机制是由于微缺陷导致的有效承载面积的减小，提出用连续度的概念来描述材料的损伤。如图10-1所示，考虑一均匀受拉的直杆，设无损状态的横截面面积为A，损伤后的有效承载面积减小为～A，则连续度的物理意义为有效承载面积与无损状态的横截面面积之比，即Kachanov（1958）认为材料劣化的主要机制是由于微缺陷导致的有效承载面积的减小，提出用连续度的概念来描述材料的损伤。如图10-1所示，考虑一均匀受拉的直杆，设无损状态的横截面面积为A，损伤后的有效承载面积减小为～A，则连续度的物理意义为有效承载面积与无损状态的横截面面积之比，即
图10-1 均匀受拉直杆的损伤
岩石断裂与损伤
显然，连续度ψ是一个量纲为一的标量场变量，ψ=1对应于完全没有缺陷的理想材料状态；随着材料劣化和损伤加剧使连续性降低dψ＜0和ψ＜1；ψ=0对应于完全破坏的没有任何承载能力的材料状态。由于损伤不可逆，则连续度ψ必是单调递减的；当ψ达到某一临界值时，材料发生断裂破坏。
Rabotnov（1963）推广了上述概念，引入式（10-2）表示的连续度ψ的相补参量——损伤变量D来描述损伤，对于完全无损伤状态，D=0；对于完全丧失承载能力的状态，D=1。
岩石断裂与损伤
Broberg建议将损伤变量定义为
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当A与比较接近的时候，上式与（10-2）的结果近似相等。Broberg定义的优点是在加载过程中的损伤可以叠加。例如，假设有效面积是分两步减缩的，如有效承载面积从A减缩到，然后再减缩到，在这两步中的损伤分别为
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则总的损伤为
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将以上一维状态下的损伤概念推广到三维状态，如图10-2所示，取出三维状态下损伤材料的代表性体积单元，n方向的损伤度为
图10-2 三维损伤示意图
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其中：和An为微元n方向的有效面积和真实面积；D为法线n和位置x的标量函数。当损伤的分布及其对材料性能的影响在各个方向上的差异不大，即各向同性损伤问题，损伤变量式（10-6）只为位置x的函数。也可定义下式表示的标量函数为损伤变量：
岩石断裂与损伤
式中：和V分别为微元的有效承载体积和真实体积。
对于材料各向异性损伤，损伤变量不仅是空间位置的函数，而且具有明显的方向性。继承Kachanov有效承载面积缩减式（10-6）的思想，Murakami发展了各向异性损伤的二阶张量描述。为了定义损伤状态量，其提出了虚设参考无损伤构形的概念。如图10 3所示，考虑一个即时损伤构形中的任意面元ABC，其中线元AB、AC和面元ABC分别用向量dx、dy和dA来表示。由于损伤的影响，作用在dA上的有效承载面积缩小，等效为虚设参考无损伤构形的有效面积元dA0。相应的，线元dx和dy变化为dx0 和dy0。由于损伤的各向异性，dA0和dA的方向一般不同，定义二者之间满足如下关系：
图10-3 各向异性损伤的构形状态
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其中I是二阶单位张量，二阶张量D描述材料的各向异性损伤状态的内变量，称为损伤张量。
下面分析二阶张量I-D的性质。通过虚设和即时构形面元矢量点乘，结果表明I-D是一个正定张量；将I-D分解为对称和反对称部分，可以发现反对称部分对有效承载面积的减少没有贡献，因而可以将I-D对称化而不影响最终结果，故D也可以对称化。对称的二阶损伤张量D具有三个正交的主方向ni（i=1，2，3）和对应的实主值Di（i=1，2，3），故其具有如下的谱表示：
岩石断裂与损伤
将式（10-9）代入式（10-8），并整理得
岩石断裂与损伤
其中，dAi=dA·ni。由此可见，损伤张量的主值Di表征主平面内有效承载面积的减少。
上述基于有效承载面积缩减而定义的损伤变量适于描述微孔洞损伤，而用于描述微裂纹损伤会遇到困难。关于其他形式的损伤变量的定义以及测量，可以参阅相关专著（谢和平，1990；于骁中，1991；余天庆等，1993；沈为，1995；余寿文等，1997；蔡四维等，1999；李兆霞，2002）。
二、有效应力
对于一维各向同性损伤问题（图10-1），有下面的关系式：
岩石断裂与损伤
将外加荷载P与有效承载面积之比定义为有效应力，则
岩石断裂与损伤
其中为无损伤状态下的真实应力。若用Broberg定义式（10-3），则有
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将上述思想推广到三维各向同性损伤状态下，有效应力与无损伤状态的真实应力间的关系为
岩石断裂与损伤
进一步，将上式直接推广到三维各向异性损伤，有效应力张量可定义为
岩石断裂与损伤
上述定义的有效应力张量一般情况下是非对称张量（此外，还有多种不同的有效应力张量的定义），由于用非对称张量形成损伤演化方程以及损伤本构方程会有一些困难，需要对这些有效应力进行对称化处理；对称化的处理方法亦有多种，其中一种途径是取式（10-15）及其转置的对称分解：
岩石断裂与损伤
详细可以参考文献（唐雪松等，2006）。
三、等效性假设与经典损伤理论
连续损伤力学引人损伤变量作为内变量，确定材料的损伤本构方程与损伤演化方程，然后采用连续介质力学的理论求解边值问题。确定材料的损伤本构方程可以利用等效性假设，也可以根据不可逆热力学理论，下面介绍基于等效性假设的理论。
1.各向同性弹脆性损伤
Lemaitre在继承Kachanov Rabotnov损伤与有效应力概念的基础上，于1971年提出著名的应变等效假设；这个假设可叙述为：对受损弹脆性材料，在真实应力σ作用下，受损状态的应变等效于在有效应力σ～作用下虚拟的无损状态的应变（图101）。应变等效假设还可理解为：任何损伤材料的本构关系与无损时的形式相同，只要将其中的真实应力替换为有效应力。例如，弹脆性损伤材料的一维本构关系可表示为
岩石断裂与损伤
其中为有效弹性模量，则有效应力可表示为；损伤变量也可以定义为
岩石断裂与损伤
在三维各向同性损伤情形，由应变等效性假设有），其中C和分别为无损弹性张量和有效弹性张量；则各向同性本构方程可以写为
岩石断裂与损伤
其中：λ和μ为无损伤Lamé常数；ε为应变张量；trε为应变张量的迹；I为单位张量；则，损伤材料的有效Lamé常数为
岩石断裂与损伤
进一步可以导出损伤材料的有效泊松比为
岩石断裂与损伤
上式表明，应变等效假设意味着损伤材料的两个有效Lamé常数，在材料损伤过程中按相同的规律随损伤度D变化，而有效泊松比始终保持不变；这与实际情况不相符，例如，损伤演化过程中泊松比发生变化的材料（如岩土）以及弹性模量和剪切模量演化规律不相同的材料（几乎所有的材料都如此），均不能包容在上述以应变等效假设为基础的损伤模型中（余寿文等，1997；庄茁等，2004；唐雪松等，2006）。虽然存在上述缺陷，应变等效假设曾对损伤力学的发展起到很大的促进作用，许多研究者试图在此基础上进行改进，发展各向同性弹性损伤的双标量损伤模型，详细介绍可也参见相关文献（沈为，1995；余寿文等，1997；庄茁等，2004；唐雪松等，2006）。
类似于应变等效性假设，可提出如下应力等效性假设：对受损弹脆性材料，在真实应变ε作用下，受损状态下的应力等效于有效应变ε～作用下虚拟的无损状态的应力。对于一维情况，真实损伤状态的应力应变关系为
岩石断裂与损伤
其中为有效应变。三维情形，则可导出与式（10-20）相同的结果。
除了应变和应力等效假设外，等效性假设还包括弹性能等效假设和余能等效性假设等，它们都可以用于建立损伤本构关系。
2.岩石类材料中的推广
上述模型建立在各向同性损伤假设基础上，为了简单，常用一个损伤标量表示。但是很多实验显示出，岩石类材料在受拉和受压时的力学响应往往有很大区别；这些现象产生的一个重要原因是材料中微缺陷因压缩而闭合的效应。当垂直于裂纹的应力是压应力时，裂纹面仍然有一定的承载能力。考虑到这些，应当对有效应力做一些修正，使得它对于拉伸和压缩有不同的性能。
在一维问题中，有效应力可修正为
岩石断裂与损伤
其中h为裂纹闭合系数，一般的0＜h＜1。
对于多维问题，需要将应力张量σ分成正、负两部分，即
〈σ〉=〈σ〉-〈-σ〉
其中符号〈〉表示：
岩石断裂与损伤
相应的有效应力可以表示为
岩石断裂与损伤
其中系数h表示微裂纹和微孔洞的闭合效应。取决于微缺陷的形状和密度，可以认为是个材料常数。
当材料为线弹性，一维本构关系可表示为
岩石断裂与损伤
多维本构关系可表示为
岩石断裂与损伤
通过等效性假定，可以建立受损伤材料的上述本构关系；在分析损伤问题时，也需要知道损伤演变规律，下节将通过另外一种途径详细讲解本构关系和损伤演化规律的建立。