法律分析：父亲去世而母亲在世的情况下，爷爷奶奶对孩子是没有法定的抚养权，建议向人民法院起诉要求孩子的母亲支付爷爷奶奶抚养孩子的费用，同时要求法院指定监护人。至于爷爷奶奶想要孩子的抚养权的，除非孩子的母亲放弃抚养权，然而从目前的情况孩子的母亲并没有尽到作为母亲对孩子的抚养义务，甚少关心联系的，爷爷奶奶可以要求抚养权，具体视法官的判决而定。
法律依据：《中华人民共和国婚姻法》第三十六条规定：父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或母直接抚养，仍是父母双方的子女。离婚后，父母对于子女仍有抚养和教育的权利和义务。离婚后，哺乳期内的子女，以随哺乳的母亲抚养为原则。哺乳期后的子女，如双方因抚养问题发生争执不能达成协议时，由人民法院根据子女的权益和双方的具体情况判决。