曲线积分题：设L为圆周x^2+y^2=2ax(a>0),它的线密度为u=x+a,求L关于x轴及关于y轴的转动惯量Ix及Iy.

Question

设L为圆周x^2+y^2=2ax(a>0),它的线密度为u=x+a,求L关于x轴及关于y轴的转动惯量Ix及Iy.

Answer 1

Ix=∫(x+a)y²ds
Iy=∫(x+a)x²ds
x=a+acosθ, y=asinθ，ds=adθ，θ∈[0,2π]

曲线积分分为:对弧长的曲线积分 (第一类曲线积分)

对坐标轴的曲线积分(第二类曲线积分)

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别;对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds;例如:对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如:对L'的曲线积分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

Answer 2

用转动惯量的公式
Ix=∫(x+a)y²ds
Iy=∫(x+a)x²ds

然后用参数方程x=a+acosθ, y=asinθ，ds=adθ，θ∈[0,2π]
带入上面的积分，求解即可。本回答被提问者采纳