如图所示，边长为2的正方形OABC如图放置在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c过点A，B，且12a+5c=0。

Question

如图所示，边长为2的正方形OABC如图放置在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c过点A，B，且12a+5c=0。 （1）求抛物线的解析式； （2）如果点P由点A开始沿AB边以每秒2个单位的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以每秒1个单位的速度向点C移动，设移动时间为t秒。当线段PQ的长取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形为平行四边形？如存在，求出点R的坐标；如不存在，请说明理由。 （3）在（2）的条件下，P、Q点在运动过程中，抛物线上是否还存在其它点R，使得以P，B， Q，R为顶点的四边形为平行四边形？如存在，求出点R的坐标；如不存在，请说明理由。

Answer 1

解（1）由题A（0，-2），B（2，-2） （2）由题AP=2t，BQ=t ∴BP=2-2t Rt△PBQ中 PQ 2 取得最小值 则PQ最小，此时 假设符合条件的点R存在　　　 ①过P作PR//BQ，PR=BQ 此时R（ ）或 将其代入抛物线解析式， 知这两个点R均不在抛物线上 ②过Q作QR//BP，QP=BP， 知点（ ）在抛物线上，点 不在抛物线上 　　综上所述，存在符合条件的点R 　（3）由题P（2t，-2），Q（2，t-2），由于点R在抛物线上。　　　 　∴若存在以P，B，Q，R为顶点的平行四边形，只能有两种情况 　　　 ①平行四边形PRBQ　　 　此时PR//BQ，PR=BQ ∴R（2t，-2-t）将其代入抛物线解析式得：   此时 ② PQRB，此时QR//PB，QR=PB。 ∴R（4-2t，t-2） 将其代入抛物线解析式 此时R 综上所述，除（2）中的点R外，还存在点R