平行六面体
1、定义:底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体。
2、性质:
①平行六面体的任何一个面都可以作为底面;
②平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分;
③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和;
④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
3、直平行六面体:侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体。也可以说底面为平行四边形的直四棱柱叫直平行六面体。
4、公式说明:
用向量来定义平行六面体。
平行六面体的体积是底面A与高h的乘积。这里的高是底面与对面的垂直距离。
另外一个方法是用向量a = (a1, a2, a3),b = (b1, b2, b3),以及c = (c1, c2, c3)来表示相交于一点的三条棱。于是,平行六面体的体积就等于三重积a · (b × c):
这是因为,如果我们选择b和c来表示底面的边,则根据向量积用向量来定义平行六面体。的定义,底面的面积为:
A = |b| |c| sin θ = |b × c|,
其中θ是b与c之间的角,而高为:
h = |a| cos α,其中α是a与h之间的角。
从图中我们可以看到,α的大小限定为0° ≤ α < 90°。而向量b × c与a之间的角β则有可能大于90°(0° ≤ β ≤ 180°)。也就是说,由于b × c与h平行,β的值要么等于β = α,要么等于β = 180° − α。因此:cos α = ±cos β = |cos β|,且h = |a| |cos β|。
我们得出结论:V = Ah = |a| |b × c| |cos β|,
于是,根据数量积的定义,它等于a · (b × c)的绝对值,证毕。