lim（ x趋向于负无穷）(x* e^ x)的极限为多少？

Question

如题所述

Answer 1

当 x 趋向于负无穷时，即 x → -∞，我们可以求出 lim(x → -∞) (x * e^x) 的极限。
可以使用洛必达法则来计算这个极限。洛必达法则可以用于计算形如 "0/0" 或 "∞/∞" 的不定式极限。
我们可以将 lim(x → -∞) (x * e^x) 改写为 lim(x → -∞) (e^x / (1/x))，然后分别对分子和分母求导。
对 e^x 求导得到 e^x，对 1/x 求导得到 -1/x^2。然后我们可以计算导数的极限：
lim(x → -∞) e^x = e^-∞ = 0
lim(x → -∞) (1/x^2) = (1 / (∞^2)) = 0
根据洛必达法则，我们可以得到：
lim(x → -∞) (x * e^x) = lim(x → -∞) (e^x / (1/x)) = 0 / 0
再次应用洛必达法则，对新的不定式进行求导：
lim(x → -∞) (e^x / (1/x)) = lim(x → -∞) (e^x / (-1/x^2))
同样，对 e^x 和 -1/x^2 求导，并计算导数的极限：
lim(x → -∞) e^x = e^-∞ = 0
lim(x → -∞) (-1/x^2) = (-1 / (∞^2)) = 0
继续应用洛必达法则，我们得到：
lim(x → -∞) (e^x / (-1/x^2)) = 0 / 0
再次进行求导：
lim(x → -∞) (e^x / (-1/x^2)) = lim(x → -∞) (e^x / (2/x^3))
继续计算导数的极限：
lim(x → -∞) e^x = e^-∞ = 0
lim(x → -∞) (2/x^3) = (2 / (∞^3)) = 0
应用洛必达法则，我们会得到：
lim(x → -∞) (e^x / (2/x^3)) = 0 / 0
我们可以继续应用洛必达法则，一直重复这个过程，直到我们得到一个确定的结果。
在这个特定的例子中，通过重复应用洛必达法则，我们可以得出极限为：
lim(x → -∞) (x * e^x) = 0
因此，当 x 趋向于负无穷时，x * e^x 的极限为 0。

Answer 2

要求 lim (x → -∞) (x * e^x) 的极限，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's rule）来解决。

洛必达法则适用于当函数的极限形式是 0/0 或 ±∞/±∞ 时，可以通过对分子和分母同时求导数来简化求解。

首先，将函数转化为不定式的形式：

lim (x → -∞) (x * e^x) = (-∞ * e^(-∞))

然后，我们可以使用洛必达法则：

取分子和分母的导数：

导数 (x) = 1
导数 (e^x) = e^x

再次计算极限：

lim (x → -∞) (x * e^x) = lim (x → -∞) (1 * e^x)

当 x 趋近负无穷时，e^x 仍然是一个趋近 0 的正无穷大的值，所以：

lim (x → -∞) (x * e^x) = 1 * 0 = 0

因此，lim (x → -∞) (x * e^x) 的极限为 0。

Answer 3

x趋向负无穷时，x*e^x的极限等于0。

解：lim(x→-∞)(x*e^x)

=lim(x→-∞)(x/e^(-x))            （洛必达法则，分子分母同时求导）

=lim(x→-∞)1/(-e^(-x))                   

=lim(x→-∞)-e^x

=0

即limlim(x→-∞)(x*e^x)的极限值等于0。

扩展资料：

1、极限运算法则

令limf(x)，limg(x)存在，且令limf(x)=A，limg(x)=B，那么

（1）加减运算法则

lim(f(x)±g(x))=A±B

（2）乘数运算法则

lim(a*f(x))=a*limf(x)，其中a为已知的常数。

（3）幂运算法则

lim(f(x))^n=A^n

2、极限的重要公式

（1）lim(x→0)sinx/x=1，因此当x趋于0时，sinx等价于x。

（2）lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e，或者lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。

（3）lim(x→0)(e^x-1)/x=1，因此当x趋于0时，e^x-1等价于x。

参考资料来源：百度百科-极限