高一数学必修4三角函数例题

Question

例题

Answer 1

三角函数图形曲线在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有
正弦函数 sinθ=y/r
余弦函数 cosθ=x/r
正切函数 tanθ=y/x
余切函数 cotθ=x/y
正割函数 secθ=r/x
余割函数 cscθ=r/y
（斜边为r，对边为y，邻边为x。）
以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：
正矢函数 versinθ =1-cosθ
余矢函数 coversθ =1-sinθ
正弦（sin）:角α的对边比上斜边
余弦（cos）:角α的邻边比上斜边
正切（tan）:角α的对边比上邻边
余切（cot）:角α的邻边比上对边
正割（sec）:角α的斜边比上邻边
余割（csc）:角α的斜边比上对边
[编辑本段]同角三角函数间的基本关系式：
·平方关系：
sin^2α＋cos^2α＝1
1＋tan^2α＝sec^2α
1＋cot^2α＝csc^2α
·积的关系：
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
·倒数关系：
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·[1]三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A�0�5+B�0�5)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A�0�5+B�0�5)^(1/2)
cost=A/(A�0�5+B�0�5)^(1/2)
tant=B/A
Asinα-Bcosα=(A�0�5+B�0�5)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos�0�5(α)-sin�0�5(α)=2cos�0�5(α)-1=1-2sin�0�5(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan�0�5(α)]
·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin�0�6(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)
cos(3α)=4cos�0�6(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α)
tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·降幂公式
sin�0�5(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos�0�5(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan�0�5(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan�0�5(α/2)]
cosα=[1-tan�0�5(α/2)]/[1+tan�0�5(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan�0�5(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos�0�5α
1-cos2α=2sin�0�5α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)�0�5
·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
sin�0�5(α)+sin�0�5(α-2π/3)+sin�0�5(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
证明：
左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）
=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
证明:
左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
等式得证
[编辑本段]三角函数的诱导公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
计算好帮手

Answer 2

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝3sin(x2－π4)，x∈R的最小正周期为(　　)
A.π2　　　　　　　　　 B．π
C．2π D．4π
【解析】　T＝2πω＝2π12＝4π.
【答案】　D
2．化简sin(9π－α)＋cos(－9π2－α)＝(　　)
A．2sin α B．2cos α
C．sin α＋cos α D．0
【解析】　sin(9π－α)＋cos(－9π2－α)＝sin(π－α)＋cos(π2＋α)＝sin α－sin α＝0.
【答案】　D
3．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)图像的相邻的两支截直线y＝π4所得线段长为π4，则f(π4)的值是(　　)
A．0 B．1
C．－1 D.π4
【解析】　由题意知截得线段长为一周期，∴T＝π4，
∴ω＝ππ4＝4，
∴f(π4)＝tan (4×π4)＝0.
【答案】　A
4．已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为
(　　)
A.5π6 B.2π3
C.5π3 D.11π6
【解析】　∵sin 2π3>0，cos 2π3<0，
∴点(sin 2π3，cos 2π3)在第四象限．
又∵tan α＝cos 2π3sin 2π3＝－33，
∴α的最小正值为2π－16π＝116π.
【答案】　D
5．要得到函数y＝sin(4x－π3)的图像，只需把函数y＝sin 4x的图像(　　)
A．向左平移π3个单位长度
B．向右平移π3个单位长度
C．向左平移π12个单位长度
D．向右平移π12个单位长度
【解析】　由于y＝sin(4x－π3)＝sin[4(x－π12)]，所以只需把y＝sin 4x的图像向右平移π12个单位长度，故选D.
【答案】　D
6．设函数f(x)＝sin(2x＋π3)，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的图像关于直线x＝π3对称
B．f(x)的图像关于点(π4，0)对称
C．把f(x)的图像向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图像
D．f(x)的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数
【解析】　f(π3)＝sin(2×π3＋π3)＝sin π＝0，故A错；
f(π4)＝sin(2×π4＋π3)＝sin(π2＋π3)＝cos π3＝12≠0，故B错；把f(x)的图像向左平移π12个单位长度，得到y＝cos 2x的图像，故C正确．
【答案】　C
7．(2012•福建高考)函数f(x)＝sin(x－π4)的图像的一条对称轴是(　　)
A．x＝π4 B．x＝π2
C．x＝－π4 D．x＝－π2
【解析】　法一　∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，
故令x－π4＝kπ＋π2，k∈Z，∴x＝kπ＋3π4，k∈Z.
取k＝－1，则x＝－π4.
法二　x＝π4时，y＝sin(π4－π4)＝0，不合题意，排除A；x＝π2时，y＝sin(π2－π4)＝22，不合题意，排除B；x＝－π4时，y＝sin(－π4－π4)＝－1，符合题意，C项正确；而x＝－π2时，y＝sin(－π2－π4)＝－22，不合题意，故D项也不正确．
【答案】　C
8．(2013•西安高一检测)下列函数中，以π为周期且在区间(0，π2)上为增函数的函数是(　　)
A．y＝sinx2 B．y＝sin x
C．y＝－tan x D．y＝－cos 2x
【解析】　C、D中周期为π，A、B不满足T＝π.
又y＝－tan x在(0，π2)为减函数，C错．
y＝－cos 2x在(0，π2)为增函数．
∴y＝－cos 2x满足条件．
【答案】　D
9．已知函数y＝sin πx3在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】　T＝6，则5T4≤t，如图：
∴t≥152，∴tmin＝8.

故选C.
【答案】　C
10．(2012•天津高考)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点(3π4，0)，则ω的最小值是(　　)
A.13　　　　 B．1
C.53　　　 D．2
【解析】　根据题意平移后函数的解析式为y＝sin ω(x－π4)，将(3π4，0)代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k，k∈Z，且ω>0，故ω的最小值为2.
【答案】　D
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11．已知圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm2.
【解析】　15°＝π12，∴扇形的面积为S＝12r2•α＝12×62×π12＝3π2.
【答案】　3π2
12．sin(－120°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝________.
【解析】　原式＝－sin(180°－60°)•cos(3•360°＋210°)＋cos(－1 080°＋60°)•sin(－3×360°＋30°)
＝－sin 60°cos(180°＋30°)＋cos 60°•sin 30°
＝－32×(－32)＋12×12＝1.
【答案】　1
13．(2013•江苏高考)函数y＝3sin(2x＋π4)的最小正周期为________．
【解析】　函数y＝3sin(2x＋π4)的最小正周期T＝2π2＝π.
【答案】　π

图1
14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝________.
【解析】　由图像可知，
T＝4×(2π3－π3)＝4π3，
∴ω＝2πT＝32.
【答案】　32
15．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：
①对于任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f(x)既是奇函数又是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中假命题的序号是________．
【解析】　当φ＝2kπ，k∈Z时，f(x)＝sin x是奇函数；
当φ＝(2k＋1)π，k∈Z时，f(x)＝－sin x仍是奇函数；
当φ＝2kπ＋π2，k∈Z时，f(x)＝cos x或φ＝2kπ－π2，k∈Z时，f(x)＝－cos x都是偶函数．
所以①和④是错误的，③是正确的．
又因为φ无论取何值都不能使f(x)恒为零，故②正确．所以填①④.
【答案】　①④
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知角x的终边过点P(1，3)．
(1)求：sin(π－x)－sin(π2＋x)的值；
(2)写出角x的集合S.
【解】　∵x的终边过点P(1，3)，
∴r＝|OP|＝12＋32＝2.
∴sin x＝32，cos x＝12.
(1)原式＝sin x－cos x＝3－12.
(2)由sin x＝32，cos x＝12.
若x∈[0,2π]，则x＝π3，
由终边相同角定义，∴S＝{x|x＝2kπ＋π3，k∈Z}.
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)图像上的一个最高点的坐标为(π8，22)，则此点到相邻最低点间的曲线与直线y＝2交于点(38π，2)，若φ∈(－π2，π2)．
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)求函数的对称中心．
【解】　(1)由题意得A＝22－2＝2.
由T4＝3π8－π8＝π4，
∴周期为T＝π.
∴ω＝2πT＝2ππ＝2，
此时解析式为y＝2sin(2x＋φ)＋2.
以点(π8，22)为“五点法”作图的第二关键点，则有
2×π8＋φ＝π2，
∴φ＝π4，
∴y＝2sin(2x＋π4)＋2.
(2)由2x＋π4＝kπ(k∈Z)得x＝kπ2－π8(k∈Z)．
∴函数的对称中心为(kπ2－π8，2)(k∈Z)．
18．(本小题满分12分)(2012•陕西高考)函数f(x)＝Asin(ωx－π6)＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈(0，π2)，f(α2)＝2，求α的值．
【解】　(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
∴函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－π6)＋1.
(2)∵f(α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，
∴sin(α－π6)＝12.
∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，
∴α－π6＝π6，∴α＝π3.
19．(本小题满分13分)已知y＝a－bcos 3x(b>0)的最大值为32，最小值为－12.
(1)求函数y＝－4asin(3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x的值；
(2)判断(1)问中函数的奇偶性．
【解】　(1)∵y＝a－bcos 3x，b>0，
∴ymax＝a＋b＝32，ymin＝a－b＝－12，解得a＝12，b＝1.
∴函数y＝－4asin(3bx)＝－2sin 3x，
∴此函数的周期T＝2π3.
当x＝2kπ3＋π6(k∈Z)时，函数取得最小值－2；
当x＝2kπ3－π6(k∈Z)时，函数取得最大值2.
(2)∵函数解析式为y＝－2sin 3x，x∈R，
∴－2sin(－3x)＝2sin 3x，即f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
20．(本小题满分13分)函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图所示．

图2
(1)求函数f1(x)的表达式；
(2)将函数y＝f1(x)的图像向右平移π4个单位，得函数y＝f2(x)的图像，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合，并写出该函数的增区间．
【解】　(1)由题意知T＝π＝2πω，∴ω＝2.
将y＝Asin 2x的图像向左平移π12，得y＝Asin(2x＋φ)的图像，于是φ＝2×π12＝π6.
将(0,1)代入y＝Asin(2x＋π6)，得A＝2.
故f1(x)＝2sin(2x＋π6)．
(2)依题意，f2(x)＝2sin[2(x－π4)＋π6]
＝－2cos(2x＋π6)，xKb 1. Com
∴y＝f2(x)的最大值为2.
当2x＋π6＝2kπ＋π(k∈Z)，
即x＝kπ＋5π12(k∈Z)时，ymax＝2，
x的集合为{x|x＝kπ＋5π12，k∈Z}．
∵y＝cos x的减区间为x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，
∴f2(x)＝－2cos (2x＋π6)的增区间为{x|2kπ≤2x＋π6≤2kπ＋π，k∈Z}，解得{x|kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z}，
∴f2(x)＝－2cos(2x＋π6)的增区间为x∈[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z.

图3
21．(本小题满分13分)已知定义在区间[－π，2π3]上的函数y＝f(x)的图像关于直线x＝－π6对称，当x∈[－π6，2π3]时，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π2<φ<π2)，其图像如图所示．
(1)求函数y＝f(x)在[－π，2π3]上的表达式；
(2)求方程f(x)＝22的解．
【解】　(1)由图像可知，A＝1，T4＝2π3－π6＝π2，
∴T＝2π.
∴ω＝2πT＝2π2π＝1.
∵f(x)＝sin(x＋φ)过点(2π3，0)，
∴2π3＋φ＝π.
∴φ＝π3.
∴f(x)＝sin(x＋π3)，x∈[－π6，2π3]．
∵当－π≤x<－π6时，－π6≤－x－π3≤2π3，
又∵函数y＝f(x)在区间[－π，2π3]上的图像关于直线x＝－π6对称，
∴f(x)＝f(－x－π3)＝sin[(－x－π3)＋π3]＝sin(－x)＝－sin x，x∈[－π，－π6]．
∴f(x)＝sinx＋π3，x∈[－π6，2π3]，－sin x，x∈[－π，－π6.
(2)当－π6≤x≤2π3时，π6≤x＋π3≤π.
由f(x)＝sin(x＋π3)＝22，得x＋π3＝π4或x＋π3＝3π4，
∴x＝－π12或x＝5π12.
当－π≤x<－π6时，由f(x)＝－sin x＝22，即sin x＝－22得x＝－π4或x＝－3π4.
∴方程f(x)＝22的解为x＝－π12或5π12或－π4或－3π4.