函数u=x2+y2+z2在椭球面2x2+2y²+2z2=1上哪一点沿哪一个方向的方向导数最大？

Question

如题所述

Answer 1

首先，根据椭球面的方程，我们可以得到$x^2+y^2+z^2=\frac{1}{2}$，将其代入函数$u=x^2+y^2+z^2$中，得到$u=\frac{1}{2}$，即函数$u$在椭球面上的取值是一个常数，不随位置变化。

我们想要求出函数$u$在椭球面上哪一点沿哪一个方向的方向导数最大，可以使用定义式：

Dv(u) = ∇u · v

其中∇u是u的梯度向量，表示u在该点的最大方向导数的方向，v是单位向量，表示我们要求的方向。

由于u在椭球面上取值不变，所以∇u在椭球面上的大小也不变，为(2x, 2y, 2z)，在椭球面上的大小为√((2x)^2+(2y)^2+(2z)^2)=2√(x^2+y^2+z^2)=1。

因此，我们只需要找到一个单位向量v，使得∇u · v最大。由于v是单位向量，所以我们可以使用柯西-施瓦茨不等式：

|∇u · v| ≤ |∇u||v|=1

等号成立当且仅当v与∇u的方向相同或相反。因此，∇u的方向就是函数u在椭球面上最大的方向导数的方向，即我们要找的方向。

由于椭球面是对称的，所以最大方向导数的方向可以沿着任意一个坐标轴。假设我们要找的方向为沿着x轴正方向，即v=(1,0,0)，则有：

Dv(u) = ∇u · v = 2x · 1 = 2x

在椭球面上，x的取值范围为[-1/√2, 1/√2]，当x=1/√2时，Dv(u)取到最大值，为2/√2=√2。因此，函数u=x^2+y^2+z^2在椭球面x^2+y^2+z^2=1/2上，沿着(1,0,0)方向的方向导数最大，最大值为√2，此时的点为(1/√2,0,0)。