第1个回答 2013-10-07
（1）DE^2+BF^2=EF^2
证明：因为四边形ABCD是正方形
所以角EAF=角AOD=角AOB=90度
角ODE=角OAF=45度
角OAE=角OBF=45度
OD=OA
OA=OB
因为角AOD=角AOE+角DOE=90度
角EOF=角AOE+角AOF=90度
所以角DOE=角AOF
所以三角形DOE和三角形AOF全等（ASA)
所以DE=AF
同理可证：三角形AOE和三角形COF全等（ASA)
所以AE=BF
在直角三角形EAF中，角EAF=90度
由勾股定理得：
EF^2=AE^2+AF^2
所以DE^2+BF^2=EF^2
(2)EF^2=AE^2+BF^2
证明：在BC上截取BG=AE，连接OG
因为四边形ABCD是正方形
所以角FBG=角AOB=90度
角OAE=角OBG=45度
OA=OB
所以三角形OAE和三角形OBG全等（SAS)
所以角AOE=角BOG
OE=OG
因为角AOB=角AOE+角EOF+角BOF=90度
角EOF=45度
所以角AOE+角BOF=45度
所以角BOF+角BOG=角GOF=45度
所以角EOF=角GOF=45度
因为OF=OF
所以三角形EOF和三角形GOF全等（SAS)
所以EF=GF
在直角三角形FBG中，角FBG=90度
由勾股定理得：
GF^2=BF^2+BG^2
所以EF^2=AE^2+BF^2
证明：因为四边形ABCD是正方形
所以角EAF=角AOD=角AOB=90度
角ODE=角OAF=45度
角OAE=角OBF=45度
OD=OA
OA=OB
因为角AOD=角AOE+角DOE=90度
角EOF=角AOE+角AOF=90度
所以角DOE=角AOF
所以三角形DOE和三角形AOF全等（ASA)
所以DE=AF
同理可证：三角形AOE和三角形COF全等（ASA)
所以AE=BF
在直角三角形EAF中，角EAF=90度
由勾股定理得：
EF^2=AE^2+AF^2
所以DE^2+BF^2=EF^2
(2)EF^2=AE^2+BF^2
证明：在BC上截取BG=AE，连接OG
因为四边形ABCD是正方形
所以角FBG=角AOB=90度
角OAE=角OBG=45度
OA=OB
所以三角形OAE和三角形OBG全等（SAS)
所以角AOE=角BOG
OE=OG
因为角AOB=角AOE+角EOF+角BOF=90度
角EOF=45度
所以角AOE+角BOF=45度
所以角BOF+角BOG=角GOF=45度
所以角EOF=角GOF=45度
因为OF=OF
所以三角形EOF和三角形GOF全等（SAS)
所以EF=GF
在直角三角形FBG中，角FBG=90度
由勾股定理得：
GF^2=BF^2+BG^2
所以EF^2=AE^2+BF^2
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