对于函数f（x），满足f^2（x）-f^2（y）=f（x+y）•f（x-y），x，y属于R，则f（x）一定为奇函数吗

Question

如题所述

Answer 1

首先令y=0有f^2(x)-f^2(0)=f^2(x)所以f(0)=0；再令x=0有f^2(0)-f^2(y)=f(y)f(-y)即f^2(y)=-f(y)f(-y)
也可以写成f^2(x)=-f(x)f(-x)，因为该关系式始终成立，若f(x)=0，则f(x)=-f(-x)，是奇函数；若f(x)存在不为0的值，则f^2(x)=-f(x)f(-x)两边同时除以f(x)有f(x)=-f(-x)。
综上f(x)一定是奇函数追问

如果令y=-x，那不就可以得到f^2（x）-f^2（-x）=0，即f(x)=-f(-x)或f(-x)吗？那不就说明f（x）也可能为偶函数吗？

追答

是的 把y=-x带进去确实有f(x)=-f(-x)或f(-x) 我们还是不能判定是奇函数还是偶函数还是既是奇函数又是偶函数，所以y=-x的这个方法不好所以我们需要令x=0
其实数学证明有很多方法，像这种题一出出来我们都不清楚答案是怎样的，我们只能根据已知条件一点一点推，当一种方法发现不行的时候我们换其他方法试一试就好了，就像y=-x带入，我们发现没有达到目的，那就换一种思路喽(其实最开始我也试过y=-x，发现没有证出来，O(∩_∩)O~)