高中数学竞赛题

Question

已知集合M1={y^2+ay+b｜y∈Z},M2={2x^2+2x+c｜x∈Z}.求证：对于任意整数a,b，总有整数c，使M1∩M2=Φ

Answer 1

y^2+ay+b =2x^2+2x+c

==>c=y^2+ay+b -(2x^2+2x)

只需要证明y^2+ay+b -(2x^2+2x)在x，y∈Z时候不能够取便全体整数就可以了。

也就是证明y^2+ay -(2x^2+2x)在x，y∈Z时候不能够取便全体整数就可以了。

也就是说明（y+1）（y+（a-1））-2 x（x+1）不能够取便全体整数就可以了。

①显然如果a是奇数，（y+1）（y+（a-1））-2 x（x+1）始终是偶数，显然满足题目中的结论。

②如果a是偶数，不妨设a=2k，也就是y^2 +2ky -2 x（x+1）=（y+k）^2 -2x（x+1）-k^2
此时就是说明（y+k）^2 -2x（x+1）不能够取便全体整数即可。
现在反设结论不成立也就是对于任意整数t=（y+k）^2 -2x（x+1）都有解，也就是对任意的整数t，始终存在整数x，使得t+2x（x+1）是一个平方数。

现在假设t=4m+3，那么对于不定方程4m+3+2x（x+1）=r^2，显然r为奇数
假设r=2s+1，得到4m+2=4s（s+1）-2x（x+1）

而左边除4余2，右边是4的倍数，这样说的话，也就是这个不定方程误解。

所以综合①②，原结论成立。

Answer 2

可以看成两条抛物线，2x^2开口较大，所以只要假设M2最低点位于M1最低点正下方，则两者永不相交，即对任意a，b，总可以找到c使得“M2最低点位于M1最低点正下方”，可以满足条件。

Answer 3

oufhhjfghjgkhfjkghfjkghjk