四个半径为R的球两两相切，在四球形成的间隙中放入一个半径为r的球使之与另外四球均相切，求R与r关系？

Question

四个球为空间正四面体构型，不在同一平面看上（想金字塔）。数学问题，麻烦用几何方法解下，注明详细过程~~~着急用，在线等，万分感谢！

Answer 1

即可以理解为 一个正空间四面体，是个顶点分别为四个打球的圆心，每条棱长为2R，
小球的球心就是这个正四面体的几何中心，这个几何中心到四个顶点的距离都是r+R。这个几何中心也是这个正四面体的外接圆的圆心。
求正四面体外接圆半径的方法是：
将正四面体放在正方体中，正方体的外接球即为此正四面体的外接球。
设正四面体的棱长为a，这正方体的棱长为a·sin45°，正方体的外接球的半径是其棱长的二分之根号三倍，所以公共的外接球的半径是四分之根号六a。R=√6a/4

所以正四面体外接圆半径为 √6a/4 把a=2R带入即为：√6R/2
所以r+R=√6R/2 关系就出来啦~~~

文字能看明白么？？待会给你上图，我用画板给你画

Answer 2

先作一个边长为√2R的正方体，则可以在这个正方体中得到棱长为2R的正四面体，这个正四面体恰好是四个半径为R的球的球心组成的四面体。
下面就完全可以在正方体中解决这个问题：
正方体的对角线长是√6R，则：四面体的中心到四面体的顶点的距离是d=(√6/2)R
且这个四面体的中心就是最终的小球的球心，从而这个小球的半径是r=[(√6/2)R]－R

Answer 3

证明：360°/4=90°
∴（R+r）²+（R+r）²=（R+R）²
∴r=（√2 - 1）R.追问

答案约等于0.225~~~麻烦再算下