如图,⊙O中直径AB垂直弦CD于E,过C作⊙O的切线CP交AB的延长线于P

Question

连DB并延长交CP于F,连接AC
(1)求证：ED²=EA*EB
(2)若OA=15,CD=24,求线段PF的长
图可见http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/aa63a1f6-7ca6-4166-ad13-22b0215fc083
不连AD，PD，OF

Answer 1

(1)证明：连接AD

由于直径AB垂直弦CD
则有：取BC弧长等于DB弧长
所以：∠EAD=∠EDB
在RT△EAD和RT△EDB中
∠EAD=∠EDB，∠AED=∠DEB=90°
△EAD∽△EDB
ED/EA=EB/ED
∴ED^2=EA*EB
(2)
连接OC、OD，OC、OD为圆的半径
弦CD与直径AB垂直
CE=ED=CD/2=12
OD^2=DE^2+OE^2
15^2=12^2+OE^2
OE=9
BE=15-9=6
BD^2=DE^2+BE^2
BD^2=12^2+6^2
BD=6√5
CB=BD
在△CFB和△DFC中
∠CFB=∠DFC，∠BCF=∠CDF
△CFB∽△DFC
CF/DF=CB/DC=(6√5)/24=√5/4
BF/CF=CB/DC=(6√5)/24=√5/4
BF/CF*CF/DF=BF/DF=√5/4*√5/4=5/16
16BF=5DF=5(BD+BF)=5(6√5+BF)
BF=30√5/11
CF=4BF/√5=4*30√5/11/√5=120/11
FP=CP-CF=20-120/11=100/11(9又11分之1)
PF等于9又11分之1cm。