首先对这9个数模5，余数只能是0,1,2,3,4，如果五种余数都出现，那么余0,1,2,3,4的数各取一个，这5个数的和即被5整除.
下面假设最多出现4种余数，由抽屉原理知至少有一种余数出现至少3次，不妨设0出现至少3次（这是因为如果我们将题中的9个数各加一个相同的整数后结论不变）.
如果1和4同时出现，那么取三个余0的，一个余1的和一个余4的，这5个数之和即被5整除.
如果2和3同时出现，同理可取到5个数之和被5整除.
下面假设1,4最多出现一个，2,3最多出现1个，也就是说最多出现3种余数. 如果最多出现2种余数，那么由抽屉原理至少有一种余数出现至少5次，取5个余数相同的数，它们的和即被5整除. 因此恰出现3种余数，且组合只能为0,1,2;0,1,3;0,2,4;0,3,4之一.
实际上这四种组合从本质上是相同的，以0,1,2的组合为例. 若1出现了至少3次，则取一个余数为0的，一个余数为2的，三个余数为1的，它们的和即被5整除；若1至多出现2次，那么0,2各至少出现了3次（否则另一个余数出现了至少5次，可以取到5个相同余数），则取两个余数为0的，两个余数为2的，一个余数为1的，它们的和即被5整除.
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