已知复数z=a+bi(a,b∈R)且a 2 +b 2 =25,(3+4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.

Question

已知复数z=a+bi(a,b∈R)且a 2 +b 2 =25,(3+4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.

Answer 1

z的共轭复数为4-3i或-4+3i
方法一 （3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(4a+3b)i是纯虚数，
∴
,∴b=
a,代入a
2
+b
2
=25,得a=±4.
∴a=4时，b=3;a=-4时，b=-3.
∴z=4+3i或z=-4-3i.
故所求的z的共轭复数为4-3i或-4+3i.
方法二 设(3+4i)（a+bi）=ki(k∈R，k≠0),
∴a+bi=
=
=
,
∴a=
,b=
,代入a
2
+b
2
=25,得k=±25.
∴k=25时，z=4+3i,
=4-3i;
k=-25时，z="-4-3i,"
=-4+3i.