【高二数学】已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点为F(1,0)，离心率为1/2.设过点F的直线与椭圆交于

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点为F(1,0)，离心率为1/2.设过点F的直线与椭圆交于M、N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(x0,y0)，求y0的取值范围。

Answer 1

（1）∵椭圆C：x²/a²+y²/b²=1，(a>b>0)的一个焦点F(1，0)，

∴c=1，
又椭圆的离心率为1/2，‘
∴a=2，b=√3，
椭圆方程为x²/4+y²/3=1；
（2）由题意，设过F(1，0)的直线MN的方程为x-1=ty，M(x1，y1)，N(x2，y2)，弦MN
的中点为Q(m，n)，直线MN与y轴的交点为P(0，y0)，
则联列方程组：x=ty+1，3x²+4y²=12，
消去x得，(3t²+4)y²+6ty-9=0，
∴⊿=36t²+36(3t²+4)>0，且y1+y2= -6t/(3t²+4)，
即得，t∈R，且n=(y1+y2)/2= -3t/(3t²+4)，
∴m=(x1+x2)/2=t(y1+y2)/2+1= -3t²/(3t²+4)+1=4/(3t²+4)，
∴直线MN的垂直平分线方程为y-n=(-t)(x-m)，
令x=0，
得y0=tm+n=4t/(3t²+4) -3t/(3t²+4)= t/(3t²+4)，
∵t∈R，
∴-√3/12≤t/(3t²+4)≤√3/12，即 -√3/12≤y0≤√3/12，
∴y0的取值范围是√3/12，√3/12].