如图:在圆O内有一点P,AB为直径,过P点作AB的垂线交圆周与点C、D,垂足为P,求:为什么CD是经过点P最短的弦。
过P点做任意一条弦EF,由相交弦定理得EP乘PF等于CP乘PD,由垂径定理可知CP等于PD,即CP得平方等于EP乘PF,设EP为a,PF为b,CP为c,所以c²=ab,4c²=4ab
因为(a-b)²=a²+b²-2ab 因为a≠b所以(a-b)²>0 即a²+b²>2ab
所以(a+b)²=a²+b²+2ab>4ab,即(a+b)²>4c² 所以a+b>2c 所以弦CD最短