常见刚体的转动惯量

Question

如题所述

Answer 1

深入探索机械世界，让我们一起揭开常见刚体转动惯量的神秘面纱。这里，我们将引用经典力学教材《力学》中卢民强的讲解，从第89页开始，一同领略这些巧妙的计算法则。

首先，让我们聚焦细棒的转动惯量。如果棒的中心点与旋转轴的距离为x，且线密度为ρ，我们通常会遇到两种情况：

当旋转轴通过中心并垂直于棒，我们可以利用I = ρ * π * x^2，这是基础的刚体转动惯量公式。
当旋转轴通过棒的一端，惯量则变为I = ρ * L * (L^2 / 12)，其中L为棒的长度。

接着是细圆环，它的半径为r，线密度ρ。对于圆环，惯量计算也有多样性：

当旋转轴通过圆环中心并与环面垂直，惯量表达式为I = ρ * π * r^4 / 2。
若轴线沿边缘与环面垂直，我们需要将环面转换为极坐标，绕中心旋转时，惯量为I = ρ * π * r^2 * (3 * r^2)。

薄圆盘的转动惯量同样精彩。对于半径为R的圆盘，面密度为σ，我们有：

通过中心，惯量为I = σ * π * R^4 / 4。
沿边缘旋转时，边界方程为r = R * (1 - θ^2)，惯量表达式变为I = σ * π * R^4 / 2 * (1 - (1/3))。
直径旋转时，我们选择y轴作为旋转轴，方程变为I = σ * π * R^4 / 4。

空心圆柱的复杂性在于内外环的组合，外环半径R1，内环半径R2，密度ρ，惯量计算涉及内外环的差异。

球壳的转动惯量则在球坐标系中进行，面密度为σ，在y轴旋转时，我们利用球坐标面积元的表达式来求解。

最后，我们来到最纯粹的球体，同样在球坐标系下，体密度ρ，惯量计算同样需要巧妙地应用球坐标系的特性。