二项式展开式的各项系数怎样求和？

Question

如题所述

Answer 1

对于一个二项式展开$(a+b)^n$，其中$a$和$b$为常数，$n$为非负整数，其各项系数之和是$(a+b)^n$的展开式中所有项的系数之和。

根据二项式展开的公式，我们知道$(a+b)^n$的展开式可写为：
$$(a+b)^n=C_n^0a^n b^0 + C_n^1a^{n-1}b^1 + C_n^2a^{n-2}b^2 + \ldots + C_n^na^0 b^n$$

其中$C_n^i$为二项式系数，表示从$n$个元素中选择$i$个元素的组合数。根据组合数的性质，我们知道：
$$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^n = 2^n$$

因此，$(a+b)^n$的展开式中各项系数之和为$2^n$。