在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且acosB+bsinA=c

Question

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且acosB+bsinA=c.

①求角A
②若a=4,求△ABC面积的最大值

Answer 1

①正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
而acosB+bsinA=c，∴2RsinAcosB+2RsinBsinA=2RsinC，∴sinAcosB+sinAsinB=sinC
而sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
∴sinAcosB+sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB
∴sinAsinB=cosAsinB，而0<B<π，∴sinB>0，∴sinA=cosA
而0<A<π，∴A=π/4
②余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-√2*bc=16，∴b²+c²=√2*bc+16
而b²+c²≥2bc，∴√2*bc+16≥2bc，∴bc≤16/(2-√2)=8(2+√2)
∴S△ABC=1/2*bc*sinA=√2/4*bc≤√2/4*8(2+√2)=4+4√2

Answer 2

由acosB-bcosA=(3/5)c及正弦定理得：
sinAcosB-sinBcosA=(3/5)sinC=(3/5)sin(A+B)
即5sinAcosB-5sinBcosA=3(sinAcosB+cosAsinB)
移项得：5sinAcosB-3sinAcosB=3cosAsinB+5sinBcosA
合并同类项得：2sinAcosB=8sinBcosA
∴ sinAcosB/sinBcosA=tanA/tanB=8/2=4.