椭圆的方程为3x2+4y2=12 求2x+根号3的最大值 请写过程 谢谢

Question

是2x+根号3y

Answer 1

方法一：
改写椭圆方程，得：x^2/4＋y^2/3＝1，∴可令x＝2cosu、y＝√3sinu。
∴2x＋√3y＝4cosu＋3sinu＝5［（4/5）cosu＋（3/5）sinu］。
引入辅助角A，使sinA＝4/5、cosA＝3/5，得：
2x＋√3y＝5（sinAcosu＋cosAsinu）＝5sin（A＋u）≦5，∴（2x＋√3y）的最大值是5。

方法二：利用柯西不等式。
（2x＋√3y）^2
＝［（2/√3）（√3x）＋（√3/2）（2y）］^2
≦（4/3＋3/4）（3x^2＋4y^2）＝（4/3＋3/4）×12＝16＋9＝25，
∴2x＋√3y≦5。
∴（2x＋√3y）的最大值是5。

Answer 2

椭圆方程化为 x^2/4+y^2/3=1 ，
令 x=2cosa ，y=√3sina ，
则 2x+√3y=4cosa+3sina=5sin(a+b) ，其中 cosb=3/5 ，sinb=4/5 ，
因此所求最大值为 5 。（顺便可求得最小值为 -5）

Answer 3

法一：使用线性规划建立z＝2x+根号3y的目标函数
法二：用椭圆的参数方程x＝a cosθ，y＝b sinθ和三角函数中辅助角公式
结果为5
鉴于本人使用手机无法写出详细过程，见谅。