什么叫微积分数学

Question

如题所述

Answer 1

微积分学是数学的一个基础分支学科,源于代数和几何.内容主要包括函数、极限、导数、微分学、积分学及其应用.微积分有两个基本想法：其一是微分学,包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论.它使得函数,速度,加速度和曲线的斜率等均可在一个通用的符号化基础上进行讨论；其二是积分学,包括积分的运算,为计算被一个函数图像所包的面积提供一套通用的方法,并引入诸如体积的相关概念.
微分和积分互为逆运算,这种概念被微积分学基本定理（Fundamental theorem of calculus）精确化.这意味著我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学.但是在教学中,微分学一般会先被引入.
微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学.微积分的基本理论表明了微分和积分是互逆运算.牛顿和莱布尼兹发现了这个定理以后才引起了其他学者对于微积分学的狂热的研究.这个发现使我们在微分和积分之间互相转换.这个基本理论也提供了一个用代数计算许多积分问题的方法,该方法并不真正进行极限运算而是通过发现不定积分.该理论也可以解决一些微分方程的问题,解决未知数的积分.微分问题在科学领域无处不在.
微积分的基本概念还包括函数、无穷序列、无穷级数和连续等,运算方法主要有符号运算技巧,该技巧与初等代数和数学归纳法紧密相连.
微积分被延伸到微分方程、向量分析、变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等领域.微积分的现代版本是实分析.
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极限
微积分中最重要的概念是“极限”.微商(即导数)是一种极限.定积分也是一种极限.
从牛顿实际使用它到制定出周密的定义,数学家们奋斗了200多年.现在使用的定义是维斯特拉斯于19世纪中叶给出的.
数列极限就是当一个有顺序的数列往前延伸时,如果存在一个有限数,使这个数列可以无限接近这个数,这个数就是这个数列的极限.
数列极限的表示方法是：
其中x就是极限的值.例如当时,它的极限为x = 0.就是说n越大(越往前延伸),这个值越趋近于0.
导数
我们知道在运动学中,平均速度等于通过的距离除以所花费的时间,同样在一小段间隔的时间内,除上其走过的一小段距离,等于这一小段时间内的速度,但当这一小段间隔的时间趋于零时,这时的速度为瞬时速度,无法按照通常的除法计算,这时的速度为时间的导数.得用求导的方法计算.也就是说,一个函数的自变量趋近某一极限时,其因变量的增量与自变量的增量之商的极限即为导数.在速度问题上,距离是时间的因变量,随时间变化而变化,当时间趋于某一极限时,距离增量除以时间增量的极限即为距离对时间的导数.
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率.

Answer 2

微积分是一门数学分支，主要研究函数的极限、导数、微分、积分、级数等。它是现代数学的基础，也是物理学、工程学等应用科学的基础。微积分被广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域，如物理学、天文学、统计学、经济学、生物学等等。
微积分可以分为微分学和积分学两个部分。微分学主要研究函数的极限、导数和微分，而积分学则主要研究定积分、不定积分和级数。这两个部分相辅相成，构成了微积分的基础理论。
微积分的重要性在于它提供了一种处理连续变化的工具，使得我们能够更好地理解自然现象和物理现象，例如质点的运动、热力学和电磁学。微积分还在工程学、经济学和社会科学中得到广泛应用，用于优化问题和决策分析。