用三重积分计算曲面围成的立体的体积

Question

如题：

Answer 1

答案：圆周率乘a^3

第一个方程是个球面方程，半径a，圆心(0,0,a)。
第二个不等式表示的是对顶圆锥体。中心在原点，母线与z轴夹角45度。
不难看出圆锥体在球面内的部分可以看成两个部分的拼接，一个部分是半径为a的半球，一个部分是底面半径a，高为a的圆锥。
两部分体积很容易求出。

积分其实挺无聊的，不就是变上下限么。这个积分适合变换下坐标，因为整个图形对称性很好，对z轴旋转对称。