x→∞，lim[(3+x)*e^(–1/x)–x]怎么求?

Question

如题所述

Answer 1

x→∞，那么1/x趋于0，
所以e^(-1/x)趋于1，
于是
lim(x→∞) [(3+x)*e^(–1/x)–x]
=lim(x→∞) [(3+x) –x]
=3追问

答案是2

追答

不好意思我想错了，
令x=1/t，那么x趋于∞时，t趋于0
原极限
=lim(t→0) (3+ 1/t)*e^(-t) - 1/t
=lim(t→0) (3t+1 -e^t)/ (t *e^t)
=lim(t→0) (3t+1 -e^t)/ t
=3 + lim(t→0) (1 -e^t)/ t
而由等价无穷小可以知道，t趋于0时，1-e^t等价于 -t
lim(t→0) (1 -e^t)/ t
=lim(t→0) (-t)/ t
= -1

于是
原极限
=3 + lim(t→0) (1 -e^t)/ t
=3 -1
=2

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