用正交变换把下列实二次型化成标准型，并写出所作的正交变换

Question

2x1x3+x2^2

Answer 1

解: 二次型的矩阵 A =
0 0 1
0 1 0
1 0 0
|A-λE|=
-λ 0 1
0 1-λ 0
1 0 -λ
= -(1-λ)^2(1+λ).
所以A的特征值为: λ1=λ2=1, λ3=-1.
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)^T, a2=(1,0,1)^T --正交
(A+E)X=0 的基础解系为 a3=(1,0,-1)^T
将a1,a2,a3单位化得
b1=(0,1,0)^T, b2=(1/√2,0,1/√2)^T,b3=(1/√2,0,-1/√2)^T
令Q=(b1,b2,b3),则Q为正交矩阵
所以 X=QY 为正交变换, 且有 f = y1^2+y2^2-y3^2