质数、合数和分解质因数

Question

1. 11112222个棋子排成一个长方阵，每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多一个。这个长方阵每一横行有多少个棋子？

2. 五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数的和是多少？

3. 自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方，求a的最小值以及b的值。

回答好的加悬赏分30！

Answer 1

楼上的答案可谓简便，不过看到那么大的数字，很少有人能够直接得出那两个数的乘积的吧

我这里有个复杂的方法

第一题
11112222分解成两个2*1111*5001，继续分解：2*11*101*3*1667

那么1667能否分解呢
假设能够分解
那么因子的尾数应该是1*7 7*1 ，3*9，9*3

假设个位数分别是a,b,那么可以假设1667的两个因子分别是（X+a)，(Y+b)
从而得到：
1667=（X+a)*(Y+b)=X*Y+X*b+Y*a+a*b,
代入a,b验证（轮换对称的）

X*Y+7X+Y+7=1667 或者X*Y+3X+9Y+27=1667 ,

如果把X,Y分别除10，对应得到 c,d，（轮换对称的）
那么上面的等式可以化简为10*c*d+7c+d=166或者10*c*d+3c+9d=164

验证c为1，2，3，4，5，6，7，8，9的时候何时能够找到一个准确的d值
那么可以验证找不到一个这样的值

所以1667不可分解

我们可以回到原分解式了：由于要求是横竖差1，所以横竖必须有一个是奇数一个是偶数，从原分解式中我们可以得到这样几组数字：2222*5001，3333*3334，6666*1667
那么答案就是第二个了

第二题

5个相邻的数乘积55440，看到尾数有个10，我们首先想到的是5个10相乘得到的是100，000，超过了这个数字，所以综合判断这里面含有1个10，而不可能含有20，30之类的数字，否则无法得到满足条件的相邻的数字，
其余的数字都在10的左边或者右边，那么原数字除10，得到5544，如果存在11，那么除11，得到商504，接下来既得不到9也得不到12，所以不可能含11，那么就只有可能是10以内的数字了，就是10，9，8，7，6

第三题
做这个题肯定要进行分解
看上去，一个想法就是a最大为338，

那么也就是说对338进行分解后，用338的因子和a相乘有可能得到更小的a

a*338=a*2*169=a*2*13*13=b*b

看过去a就是2，b就是26

Answer 2

1. 11112222个棋子排成一个长方阵，每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多一个。这个长方阵每一横行有多少个棋子？
11112222=2×3×11×101×1667，
11112222写成两个四位数的积的情况有：
1667×6666；3334×3333；5001×2222。
其中只有“3333×3334”符合题意，
由此可知，每一横行有3334颗棋子。

2. 五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数的和是多少？
55440＝2×2×2×2×3×3×5×7×11＝7×8×9×10×11
这五个自然数的和是
7＋8＋9＋10＋11＝45

3. 自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方，求a的最小值以及b的值。
∵ 自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方，

∴ a与338的积分解质因数以后，每个质因数的个数之和都是偶数．

解：∵ 338＝2×13×13，

∴ a＝2，
b＝2×13＝26．

Answer 3

1.设这两个数分别为x和y，则有
x/y=5
xy=3920
解得：
x=140，y=28，或x=-140，y=-28
2.设甲、乙、丙分别为x，y，z
x-z=6
y=（x+z）/2
xyz=15400
将x、z使用y表示可知
y（y-3）（y+3）为15400，解得：
x=28，y=25，z=22
3.将题中8个数具有公约数的分组，（26，34），（33，63），（35，85），（26，91，143），共有4组，且这4组中数最多的只有3个，所有最少要分3组。即26，33，35与34，63，85，91，和143。
4.
首先975×935×972=886099500，不难看出，若要后5位均为零，只需乘以1000或200即可。