高中变态数学题一道

Question

如题所述

Answer 1

证：题设递推式难以确定an,试计算该数列的前面几项，可知，
a1=2,a2=7,a3=25,a4=89,...
可猜想an+1=3an + 2an-1(n≥2)，
下面用数学归纳法证明上述猜想。
当n=2,3时，上述猜想成立。
设对k≤n时，均有ak+1=3ak + 2ak-1成立,
则对k=n+1的情况，我们有
an+1 �0�5/an=an+1 (3an + 2an-1)/an=3an+1 + 2an + 2(an+1an-1 -an �0�5)/an,
注意到
|2(an+1an-1 -an �0�5)/an|=|2an-1/an|×|an+1 -an �0�5/an-1|≤（1/2）|2an-1 / an|,
由前面的归纳假设，易知an>2an-1,所以
|3an+1 +2an -an+1 �0�5/an|<1/2,
利用an+2为整数，且|an+2 -an+1 �0�5/an|≤1/2，可知
|an+2 -(3an+1 + 2an)|≤|an+2 - an+1 �0�5/an| + |an+1 �0�5/an -(3an+1 + 2 an)|<1/2 + 1/2=1
∴an+2=3an+1 + 2an,
于是，猜想对k=n+1的情形成立。
故，an+2=3an+1 + 2an,
由上式可知an+2与an+1同奇偶性，
因为a2=7是奇数，
所以对任意正整数n≥2,an均为奇数。

Answer 2

别想直接证出来啊
高中生没那水平，列出前面几项
寻找关系 然后用数学归纳法吧
简单明了，绝对没问题

Answer 3

可以先写出前几个
再用数学归纳法来证明

Answer 4

应该要说明数列an的性质吧