如图，在平面直角坐标系中，点A（根号3,0），B（3根号3,2），C（0，2）动点D以每秒1个单位的速度从点D

Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（根号3,0），B（3根号3,2），C（0，2）动点D以每秒1个单位的速度从点D出发沿着OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动，过点E作EF垂直AB,交BC于点F，连接DA、DF。设运动时间为t秒。
（1）求∠ABC的度数
（2）当t为何值时，AB//DF
（3）设四边形AEFD的面积为S。
①求S关于t的函数关系式；
②若一抛物线Y=x^2+MX经过动点E，当S＜2根号3时，求m的取值范围。

Answer 1

（1）易知BC//x轴
过B作x轴的垂线BG，垂足为G
则∠ABC=∠BAG
易知BG=2，AG=2√3
则tan∠BAG=BG/AG=√3/3
即∠ABC=∠BAG=30°

（2）过E作x轴的垂线EH，垂足为H
当AB//DF时∠DFC=∠ABC=30°
而t时刻，CD=OC-OD=2-t，BE=AB-AE=4-2t
易知CF=CD/tan30°=√3(2-t)，BF=BE/cos30°=4√3/3(2-t)
又CF+BF=BC
则√3(2-t)+4√3/3(2-t)=3√3
解得t=5/7(s)

（3）①显然S=S(梯形OABC)-S(RT⊿AOD)-S(RT⊿DCF)-S(RT⊿BEF)
易知S(梯形OABC)=4√3
t时刻OD=t，而OA=√3，则S(RT⊿AOD)=√3/2t
t时刻BE=2(2-t)，EF=BEtan30°=2√3/3(2-t)，则S(RT⊿BEF)=2√3/3(2-t)^2
t时刻CD=2-t，CF=BC-BF=√3/3(1+4t)，则S(RT⊿DCF)=√3/6(1+4t)(2-t)
所以S=4√3-√3/2t-2√3/3(2-t)^2-√3/6(1+4t)(2-t)
即S=√3(t+1)（0≤t≤2）

②易知t时刻，E点坐标为(√3(t+1),t)
因点E在抛物线上，则有t=[√3(t+1)]^2+m[√3(t+1)]
即m=[t-3(t+1)^2]/[√3(t+1)]=√3/3-[1/√3(t+1)+√3(t+1)]
因S=√3(t+1)
则m=√3/3-(S+1/S)

显然0≤t<1时，√3≤S<2√3
因S>1，则m=√3/3-(S+1/S)为减函数
所以√3/3-(2√3+1/2√3)<m≤√3/3-(√3+1/√3)
即-11√3/6<m≤-√3