数学模型应用

Question

如题所述

Answer 1

1 .“证据权”法

“证据权”法是国际地学领域使用GIS技术进行矿产资源评价预测一种流行的计算方法，其基础是将地质评价模型转换为“网格模型”，针对每一网格上信息数据进行权值计算，将抽象的模型赋予实实在在的内涵，达到评价目的。评价方法自始至终都是依靠图层数据驱动，由计算机自动完成。只要所输入的图层合理，选择条件适当，计算结果客观可信。因而它成为本次评价首选的数学模型。

“证据权”法数学模型是一种从条件概率出发，对成矿有关的地质证据因素进行证据标志的权重和先验概率奇比计算。

皖东南区域地质矿产评价

式中：W^＋、W^－分别表示证据标志因素存在和不存在的找矿信息权值。

P（B| D）、P（B| D）、P（BI D）、P（BI D）均为条件概率。

先验概率奇比O（D）=P（D）/[1-P（D）］

然后计算评估预测单元的后验奇比和后验概率：

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后验概率既考虑地质因素存在的找矿权重，又考虑地质因素缺失的找矿权重，因而当因素缺失数据也可以计算。实际上，后验概率就是在先验概率的基础上对证据正、负权重的叠加。

“证据权”法运行基本过程见图5-4-6。

图5-4-6 “证据权”法计算程序框图

2.多元信息统计回归法

设有n个地质变量，预测区划分为2km x2km的单元网格数为m个。第i个地质变量作用于第j个网格单元的作用值为ui j，于是有：

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令R_mxm=U′_m×n·U_n×m。为变量匹配矩阵（元素为r_ij），第i个地质变量的联系度为：

皖东南区域地质矿产评价

则其权系数：

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因此，第j个网格单元的成矿有利度：

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这样，由金矿网格单元的成矿有利度和该单元已知矿产储量进行投影，确定回归方程。本次筛选了3类回归方程：

（ⅰ）线性函数　　 y=a+bx 　　　　　　　　　　　　　　　（5-4-10）

（ⅱ）幂函数　　 　 y=a x⁶ 　　　 　　　　　　　　　　　（5-4-11）

（ⅲ）指数函数 　　 y=ab^x　　　　　　　　　　　　　　　（5-4-12）

式中a,b为待定系数，x,y为变量。

回归计算结果的质量（可信度）如何评判？传统的方式是使用“拟合度”来衡量。设第i个网格单元的成矿有利度为w_i，已知储量为q₁，含有已知储量矿床（点）的网格单元数为m.则

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式中w、q分别为w_i和q_i的平均值，于是有：

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设U为回归平方和：

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因此，考察回归方程的显著性使用下列拟合度的概念：

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拟合度N仅在一定程度上反映了变量q对变量w的回归依赖关系。N值越大，依赖程度越高（0<N<1）。但是，当样品数量m较小时，N一般比较大。若m较大时，即使w、q的回归函数关系很明显，N也可能很小。所以，用N来判断显著性不可靠。本次计算采用“相关系数检验法”来验证回归结果的显著性：

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一般来说，当相关系数r在0.9及其以上时，认为回归的显著性比较好，可以用于资源量估算。

“多元信息统计回归”法程序框图见图5-4-7。

图5-4-7 “多元信息统计回归”法计算程序框图

利用幂函数回归方程主要是依据地质、物化探与矿化相关关系，将参加预测的所有地质变量划分为主相关、次相关、不相关（或不清）3大类，分别赋予＋2、＋1、0值。将对成矿不利的地质因素舍去，同时将预测区分成规则的网格（2km×2km），构成了地质变量相对网格单元的矩阵，对该矩阵采用矢量长度法进行特征分析，获得各网格单元的成矿有利度，进而由已知矿床（点）的储量回归计算出各单元的矿产资源量。

值得一提的是，按照上述方法操作，有时存在3个回归方程都不能满足要求，原因有两个，一是地质变量与已知矿床（点）储量不存在回归函数关系，另一是达不到期望的相关系数值。对于后一种情况可以通过MRAGIS系统提供的“修改含矿网格分值”这一功能按钮来进行分值修改，以提高回归的显著性。当然，分值的修改必须由地质矿产专家的参与、认可方可实施。

3.BP神经网络法

典型的BP神经网络结构如图5-4-8所示。

在图5-4-8中，x₁、x₂、……x_n为输入层的入口数据，即评价预测的地质变量值。隐含层节点输出值：

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式中：ω_ij为输入层与隐含层的连接权值；

x_i为输入节点输入值；

θ_i为隐含层节点（b_zi）阀值。

输出层节点输出值：

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式中：ω_2j为隐含层与输出层的连接权值；

图5-4-8 BP神经网络结构图

y_j为隐含层输出值；

θ为输出层节点（b₃）阀值。

当神经网络训练时，学习样本的期望输出值与实际输出值是存在差异的，网络训练的终止标志有两个，一是实际输出与期望输出之间的均方误差小于等于目标值；二是训练次数达到指定值。

均方误差：

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式中：d_k为期望输出值；

O_k为计算输出值。

需要指出的是，BP神经网络按照常规的算法，它的训练和学习不易收敛，或只收敛于局部极小点，无法满足GIS评价目的要求。因此，采用Levenberg-Marquardt规则来选择牛顿法还是梯度法确定学习速率参数μ：

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式中J为每个网络误差对网络层输入的导数的雅可比矩阵（Jacobian）。显然，随着μ的增大，式中的J^TJ可以忽略，所以，学习过程主要根据梯度下降，即μ^－1J^Te项。只要迭代使误差增加，μ也就会增加，直到误差不再增加为止。如果μ太大，则会使学习停止（因μ^－1J^Te接近于0），当已经找到最小误差时，就会出现这种情况。从而保证了误差达到了期望值或训练达到最大次数就会停止训练

引自闻新、周露等《MATLAB神经网络应用设计》。。

BP神经网络法的运行流程见图5-4-9所示。