求解两个定积分的问题

Question

（1）满足f(x)=sinx+3∫π/2,0 f(t)cost dt的f(x)=sinx-?/? 一个？是一个数字

（2）f(a)=∫2π,0 |sin(x+a)-sinx| dx(0<a<π)

这个式子变形后=＞ ？∫2π,0 |cos(x+a/2)| dx ？是下面6个的其中一个：sina/2,cosa/2,2sina/2,2cosa/2,1/2sina/2,1/2cosa/2

别光给个结果，过程或者思路也麻烦写出来，谢谢

Answer 1

1 f(x)=sinx+3∫π/2,0 f(t)cost dt=sinx+3A
f(x)cosx=sinxcosx+3Acosx, 在区间[0,π/2]积分得：
∫[0,π/2]f(x)cosxdx=∫[0,π/2]sinxcosxdx+3∫[0,π/2]Acosxdx
即：A=∫[0,π/2]sinxdsinx+3∫[0,π/2]Adsinx
=1/2+3A 解得：A=-1/4
f(x)=sinx-3/4
2. f(a)= ∫[0,2π] |sin(x+a)-sinx| dx (0<a<π)
=∫[0,2π] 2|sin(x+a/2)cosa/2| dx
=2cos(a/2) ∫[0,2π] |sin(x+a/2)| dx
=2cos(a/2)[ ∫[0,π-a/2] sin(x+a/2)dx- ∫[π-a/2.2π-a/2] sin(x+a/2)dx + ∫[2π-a/2.2π] sin(x+a/2)dx
=2cos(a/2){ [-cos(x+a/2)|[0,π-a/2]+[-cos(x+a/2)|[π-a/2,2π-a/2]+[-cos(x+a/2)|[2π-a/2.2π]}
=2cos(a/2){1+cos(a/2)-1+1-1-cos(a/2)}
=2cos(a/2)追问

谢谢详细的回答，不过我还是有两个地方想问下。
第一问的，即：A=∫[0,π/2]sinxdsinx+3∫[0,π/2]Adsinx
这个地方的3∫[0,π/2]Adsinx，积分出来是3Asinx|[0,π/2]吗？

然后第二问的
f(a)= ∫[0,2π] |sin(x+a)-sinx| dx
=∫[0,2π] 2|sin(x+a/2)cosa/2| dx
是怎么变过来的？我感觉这个地方是关键

追答

1. 嗯 3∫[0,π/2]Acosxdx=3Asinx|[0,π/2]
2. 和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]