如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,过点C作CG‖AD交AB的延长线于点G,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.

Question

图
如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,过点C作CG‖AD交AB的延长线于点G,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD. 证明E 是OB的中点证CG是圆O的切线 AB=8,CD=?

Answer 1

（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴AC＝AD ，
∴AC=AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC=CD，
∴AC=AD=CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD=30°，
在Rt△COE中，OE＝1/2
OC，
∴OE＝1/2 OB，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，
∴OC＝1/2 AB＝4，
又∵BE=OE，
∴OE=2，
∴CE＝根号OC2−OE2＝根号16−4＝2倍的根号3 ，
∴CD＝2CE＝4倍的根号3 ．

Answer 2

连接AC，可以证明ABC是一个等边三角形。所以角OCE为30度，OC=2OE=OB,则E为OB的中点。CF垂直于AD,CG又平行于AD,所以CF垂直于CG,故CG为圆的切线。
AB=8,则CD=4√3

Answer 3