如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E点,过C点作CG‖AD，交AB的延长线与点G，连OD，且OD恰好平分角ADC

Question

如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,过点C作CG‖AD交AB的延长线于点G,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.
证明E 是OB的中点
证CG是圆O的切线
AB=8,CD=?

Answer 1

给你一个思路吧。
连接AC，可以证明ABC是一个等边三角形。所以角OCE为30度，OC=2OE=OB,则E为OB的中点。CF垂直于AD,CG又平行于AD,所以CF垂直于CG,故CG为圆的切线。
AB=8,则CD=4√3

Answer 2

连接AC，可以证明ABC是一个等边三角形。所以角OCE为30度，OC=2OE=OB,则E为OB的中点。CF垂直于AD,CG又平行于AD,所以CF垂直于CG,故CG为圆的切线。
AB=8,则CD=4√3

Answer 3

解：（1）CG∥AD，理由如下：
∵CG是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，
∴CG⊥CF；
又∵CF⊥AD，
∴CG∥AD（同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行）；

（2）证法一：
证明：如图（1），连接AC，
∵CF⊥AD，AE⊥CD，
且CF、AE过圆心O，
弧AC
=
弧
AD
，
弧CD
=
弧AC

，
∴AC=AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠D=60°，
∴∠FCD=30°；
在Rt△COE中，OE=
12

OC，
∴OE=
12

OB，
∴点E为OB的中点；

证法二：
证明：如图（2），连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
又∠AFO=90°，
∴∠ADB=∠AFO，∴CF∥BD，
∵△BDE∽△OCE，
∴
BEOE
=
EDCE

，
∵AE⊥CD，且AE过圆心O，
∴ED=CE，
∴
BEOE
=
EDCE

=1，即BE=OE，
∴点E为OB的中点．
(3)
∵AB=8
∴OB=4
∴OE=2
∴DE=2√2
∴CD=4√2