求所有整数m、n，使得mn|（3^m+1），mn|（3^n+1）

如题所述

第1个回答 2015-08-27

本题要涉及到费马小定理。
当m，n都≥2时，取p为m的最小质因子。
则p|m|mn|（3^m+1）|（3^2m-1）。（由此易知p不是3）
又由费马小定理p|3^（p-1）-1
所以p|[3^（2m，p-1）-1]
因为p为m的最小质因子，所以（m，p-1）=1
所以（2m，p-1）=2或1
所以p|3^2-1或p|3^1-1
所以p|8或p|2
所以p=2.
同理，n的最小质因子也是2.
所以m，n都是偶数，所以mn是4的倍数
但3^m+1≡（-1）^m+1≡1+1=2(mod4)不是4的倍数
与mn|3^m+1矛盾
所以m,n至少有一个为1.
所以答案为m=1,n=2
m=2,n=1
m=1,n=1.追问

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