线性代数题目。

Question

1.判断是否可以对角化，写出可逆矩阵T，使得T-1AT为对角型矩阵。
A=3 -2 0
-1 3 -1
-5 7 -1

2.已知A~（相似）B，求ⅠA+2EⅠ
其中B= 1 2
3 1

3.设A=2 2 -2
2 5 -4
-2 -4 5
求正交矩阵Q，使得Q-1AQ为对角型矩阵

Answer 1

1.
解: |A-λE|=
3-λ -2 0
-1 3-λ -1
-5 7 -1-λ

c1+c2+c3
1-λ -2 0
1-λ 3-λ -1
1-λ 7 -1-λ

r2-r1,r3-r1
1-λ -2 0
0 5-λ -1
0 9 -1-λ

= (1-λ)[(λ-5)(λ+1)+9]
= (1-λ)(λ^2-4λ+4)
= (1-λ)(λ-2)^2

所以A的特征值为1,2,2.

因为 A-2E =
1 -2 0
-1 1 -1
-5 7 -3
-->
r2+r1,r3+5r1
1 -2 0
0 -1 -1
0 -3 -3

r3-3r2
1 -2 0
0 -1 -1
0 0 0

所以 r(A-2E)=2, A的属于二重特征值2的线性无关的特征向量有 3-2=1 个
故A不能对角化.

2. B 的特征值是 1±√6
所以 A 的特征值是 1±√6
所以 A+2E 的特征值是 3±√6
所以 |A+2E| = (3+√6)(3-√6) = 3.

3.
解: |A-λE|=
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
-2 -4 5-λ

r3+r2
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
0 1-λ 1-λ

c2-c3
2-λ 4 -2
2 9-λ -4
0 0 1-λ
= (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8] (按第3行展开, 再用十字相乘法)
= (1-λ)(λ^2-11λ+10)
= (10-λ)(1-λ)^2.

A的特征值为: λ1=10,λ2=λ3=1.

(A-10E)X=0 的基础解系为 a1=(1,2,-2)'
(A-E)X=0 的基础解系为 a2=(2,-1,0)',a3=(2,4,5)--已正交

单位化构成矩阵P=
1/3 2√5 2/√45
2/3 -1√5 4/√45
-2/3 0 5/√45
则Q是正交矩阵,且 Q^-1AQ=diag(10,1,1).

PS. 分开提问能尽快得到解答

Answer 2

哈哈哈哈，曾经让人要死要活的线代！！！追问

现在让我要死要活的线代T.T