高数平面直线方程一题，第15题。 或同济版下册p51页第15题

Question

如题所述

Answer 1

15、平面 xoy 的法向量为 n1=（0，0，1），
设 P（x，y，z）是所求平面上任一点，
则 AB=（-3，0，1），AP=（x-3，y，z），
所以平面 ABP 的法向量为 n2=AB×AP=（-y，x+3z-3，-3y），
由于两平面所成角为 π/3 ，
所以 n1、n2 夹角为 π/3 或 2π/3 ，
那么可得 |n1*n2|=|n1|*|n2|*cos(π/3) ，
即 3y=1/2*√[(-y)^2+(x+3z-3)^2+(-3y)^2] ，
化简得 (√26*y+x+3z-3)(√26*y-x-3z+3)=0 ，
因此所求平面方程为 x+√26*y+3z-3=0 或 x-√26*y+3z-3=0 。

还有一种方法稍简单些。
设平面在 y 轴上的截距为 1/b ，则平面方程可写为 x/3+by+z/1=1 ，
那么平面法向量为 n1=（1/3，b，1） ，
由于平面 xoy 的法向量 n2=（0，0，1），且两平面所成角为 π/3 ，
因此 n1、n2 夹角为 π/3 或 2π/3 ，
所以由 1/2=|cos<n1，n2>|=|n1*n2|/(|n1|*|n2|)=1/[√(1/9+b^2+1)*1]
可解得 b=±(√26)/3 ，
所以所求平面方程为 x/3±√26/3*y+z=1 ，也即 x+√26*y+3z-3=0 或 x-√26*y+3z-3=0 。