如图，在△ABC中，AD，BE分别为边BC，CA上的中线

Question

如题所述

Answer 1

解：假设线段BE与AD的交点为H点
中线BE与中线AD的交点H为重心，根据重心的相关性质，可知
在△ABC中，有AH/HD=2/1, BH/HE=2/1

根据已知条件，AD=1，BE=2，AD与BE的夹角为120°（即角DHE为120°）
得AH=2/3AD=2/3, HD=1/3AD=1/3, BH=2/3BE=4/3, HE=1/3BE=2/3 角AHE为60°

在△AHE中，AH=HE，角AHE为60°，所以△AHE为等边三角形，即AE=2/3
E为线段AC的中点，AC=2AE=4/3
在△BHD中，BH=4/3,HD=1/3,角BHD为60°（角AHE与角BHD为对角，故角BHD为60°）
据余弦定理有 BD的平方=BH的平方+HD的平方-2xBHxHDxcos60°
得BD=√13/3, D为线段BC的中点，BC=2BD=2√13/3

在△ADC中，AD=1，DC=BD=√13/3，AC=4/3
据余弦定理有 AD的平方=AC的平方+DC的平方-2xACxDCxcos（角DCA）
得cos（角DCA）=5√13/26

在△ABC中，AC=4/3，BC=2√13/3，cos（角DCA）=5√13/26
据余弦定理有 AB的平方=AC的平方+BC的平方-2xACxBCxcos（角DCA）
得AB=√28/3
继续用余弦定理有 BC的平方=AB的平方+AC的平方-2xABxACxcos（角BAC）
得cos（角BAC）= -1/ √28

所以AB的向量点乘AC的向量=AB向量的模xAC向量的模x cos（角BAC)= -4/9