将函数f(z)=1/(3-z)在z=1处展开成泰勒级数,并指出其收敛域

Question

如题所述

Answer 1

原式=1/(3-z)
=1/[2-(z-1)]
=1/2*1/[1-(z-1)/2]
=1/2{1+[(z-1)/2]^1+....+[(z-1)/2]^n}
收敛域
[(z-1)/2]<1
[z-1]<2
楼上的明显的是错误的，要求的是z=1而不是z=0处的泰勒级数

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Answer 2

等比数列首项a公比q，当|q|<1
数列的和为s=a/(1-q)
套用上面的形式
f(z)=1/(3-z)
=1/[2-(z-1)]
=1/2/[1-(z-1)/2]
a = 1/2 q=(z-1)/2
于是|q|<1 |(z-1)/2|<1 -1<z<3即为收敛域
泰勒级数S(x)=a(∑(0,+∞) q^i)
其中a,q已经算出来了，自己带入
=1/2{1+[(z-1)/2]^1+....+[(z-1)/2]^n}