额，同学和我一样啊！！你是？？ (商品的市场占有率问题) 有两家公司 R 和 S 经营同类的产品, 它们相互竞争. 每年 R 公司保有 1/4 的顾客,而 3/4 转移向 S 公司;每年 S 公司保有 2/3 的顾 客,而 1/3 转移向 R 公司.当产品开始制造时 R 公司占有 3/5 的市场分额,而 S 公司占有 2/5 的市场分额.问两年后,两家公司所占的市场分额变化怎样, 五年以后会怎样? 十年以后如何? 是否有一组初始市场分额分配数据使以后每 年的市场分配成为稳定不变? 问题分析与数学模型 根据两家公司每年顾客转移的数据资料,可得以下转移矩阵:
1 4 A= 3 4 1 3 2 3
根据产品制作之初,市场的初始分配数据可得如下向量:
3 5 X0 = 2 5
所以 n 年后,市场分配为:
1 4 X n = AX n 1 = L = A n X 0 = 3 4 1 3 2 3
n
3 5 2 5
设有数据 a 和 b 为 R 公司和 S 公司的初始市场份额,则 a + b = 1 .为了使以后每年的市 场分配不变,根据顾客数量转移的规律,有:
1 4 3 4 1 3 a a = 2 b b 3
即
3 4 3 4 1 3 a =0 1 b 3
该方程若有解,则应该在非零解的集合中选取正数解作为市场稳定的初始份额. 程序和计算结果 为了得到两年,五年,十年后市场的分配情况.
在 MATLAB 窗口中输入 >>
A=[1/4 1/3;3/4 2/3] %输入转移矩阵
A >> x0=[3/5;2/5] %输入初始向量,即初始市场份额
>> x2=A^2*x0 %计算两年后的市场份额
>> x5=A^5*x0 %计算五年后的市场份额
>> x10=A^10*x0 %计算十年后的市场份额
x2 = 0.3097 0.6903 x5 = 0.3077 0.6923
x10 = 0.3077 0.6923 由此可得下表 6.3表 6.3市场份额的转移率: 两年后 五年后 十年后
R 公司的市场份额 31% 31% 31%
S 公司的市场份额 69% 69% 69%
为了求 a 和 b 作为 R 公司和 S 公司稳定的初始市场份额,需要求解齐次方程组.
在 MATLAB 窗口中输入:
>> format rat %定义输出格式为小整数比的近似值
>> rref(A-eye(2)) %对矩阵 A I 2×2 进行初等变换,所得矩阵为矩阵 % A I 2×2 的最简行阶梯矩阵 ans = 1 0 -4/9 0
4 a b =0. 9 4 ≈ 31% 13 9 b= ≈ 69% 13 a=
由此得简化后的方程为
结合约束条件 a + b = 1 ,可得
这是使市场稳定的两家公司的初始份额,也正好与表中的数据吻合. 问题的解答和进一步思考 在 R 公司和 S 公司的市场初始份额分别为 60%和 40%的情况下,根据计算结果, 两年后情况变化较大:R 公司大约占 31%,S 公司大约占 69%.而五年以后与两年以 后比较变化不大:R 公司大约占 30.8%,S 公司大约占 69%.十年后的的情况与五年 后的情况比较大约不变.市场已趋于稳定.
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