设二维随机变量（X,Y）的联合分布函数的部分表达式为 F(x，y)=sinxsiny,0<=x<=∏\2,0<=y<=∏\2,

Question

求二维随机变量（X,Y）在长方形区域{0<x<=∏\4,∏\6<y<=∏\3}

Answer 1

是求二维随机变量在区域｛0＜x≦π/4，π/6＜y≦π/3｝的概率P吧？先求在区域｛0＜x≦π/4，0＜y≦π/3｝的概率P1:P1=F(π/4，π/3)-F(0，π/3)-F(π/4，0)＋F(0，0)=sin(π/4)sin(π/3)，即P1=(√3)/(2√2)①；其次求在区域｛0＜x≦π/4，0＜y≦π/6｝的概率P2:P2=F(π/4，π/6)-F(0，π/6)-F(π/4，0)＋F(0，0)=sin(π/4)sin(π/6)，即P2=1/(2√2)②；P=P1-P2，将①②代入得P=(√3-1)/(2√2)。追问

为什么P1=F(π/4，π/3)-F(0，π/3)-F(π/4，0)＋F(0，0）
P2=F(π/4，π/6)-F(0，π/6)-F(π/4，0)＋F(0，0)

追答

二维随机变量（X，Y）落在长方形区域：左下角（x1，y1）→右上角（x2，y2）的概率为：
F(x2，y2)-F(x2，y1)-F(x1，y2)+F(x1，y1)，书上有这公式。
此题中，区域｛0＜x≦π/4，π/6＜y≦π/3｝包含在｛0＜x≦π/2，0＜y≦π/2｝中，所以可以使用
F(x，y)=sinxsiny计算。上面的解法有点绕弯，可直接应用上面的公式：（x1，y1）=（0，π/6），
（x2，y2）=（π/4，π/3），F(π/4，π/3)-F(π/4，π/6)-F(0，π/3)+F(0，π/6)=(√3-1)/(2√2)。