解一元二次方程
知识点：
一元二次方程和线性方程是整式方程，它是初中数学内容的一个重点，但也是今后学习数学的基地的基础上，应该引起学生的注意。 2 />一个二次方程式的一般形式：AX2（2 X-平方数）+ BX + = D（A≠0），它仅包含一个未知的，数量最多的未知数
整式方程。
求解一元二次方程的基本思路是“停机时间”分为两个线性方程。一元二次方程四个解决方案：1，开平方法2与方法3，公式法，因式分解法。
二，简洁的方法例如：
1，开平直接的方法：
直接开平方法解一元二次方程的平方根是直接使用。直接状如喜解决方案（XM）2 = N（N≥0）
方程为x =±
例1的解决方案。求解方程组（1）（3×1）2 = 7（2）9X2-24倍16 =
分析：（1）这个方程是明显的直接开平方法好做，（2）的左方面的方程是完全平坦的方法（3×4）= 11> 0时，在右侧，那么
这个方程也可以用直接开平方法解。
（1）方案：（3X +1）= 7×
∴（3X +1）2 = 5
∴的3x +1 =±（注意不要把解决方案）<BR / ∴X =
∴原方程X1 = X2 =
（2）解决方案：9X2-24X +16 = 11
∴（3-4）2 = 11
∴3 -4 =±
∴X =
的∴原方程X1 = X2 =
2。 ：解决方法方程组Ax 2 + BX + C = 0（≠0）
第一常数c等式的右边：AX + BX-C
二次项系数1：X2 + X = -
两侧，分别与方程系数半方：X2 + X +（）2 = - +（）2
方程的左边成为一个完美的正方形： （+）2 =
当B2-4AC≥0，X + =±
∴X =（求根公式）
例2。的方法解方程3X2-4-2 = 0
解决方案：移动到右边的方程3X2-4X = 2
二次项系数常数项：X2-X =
两侧的方程和系数的一半面积的2倍-+（）= +（）2 />式：（x）的2 =直接平方根的x =±∴X =
∴原方程X1 = X2 =
3。公式法：化成二次方程的一般形式，然后计算判别式△= B2-4AC价值，当B2-4AC≥0，每
系数a，B，C的值代入根调查的公式=（B2-4AC≥0），可以是方程的根。
案件3。公式法解方程的2x2-8X = -5
解决方法：进入一般形式的方程：2X2-8X +5 = 0
∴= 2，B = -8，C = 5
>β2-4ac时=（-8）2-4×2×5 = 64-40 = 24> 0
∴= [（-B±（二^ 2-4ac时）^（1/2）/ （2 *）
的∴原方程对于x1 = 2倍= />分解法：方程变形侧为零，另一侧的第二个不同的产品分解成两个因子的形式/>两个一旦因子等于零，两个两个一次性方程获取根，原方程一个/>根此解决方案的一个二次方程式被称为分解法的线性方程组的解。
例4的分解方法来解决公式如下：
（1）（X +3）（X-6）= -8（2）2×2 +3 X = 0
（ 3）6X2 +5 X-50 = 0（选择），（4）X2-2（+）×4 = 0（选择学校）
（1）解决方案：（X + 3）（- 6）= -8简单的精加工
的2倍到3倍-10 = 0（方程左侧的第二个三，右零）
（5）第（x +2）= 0（方程因子分解的左侧）
∴-5 = 0或x 2 = 0（为两个线性方程）
∴X1 = 5 2 = -2的溶液中
原方程（2）的解决方案：2×2 3 = 0 ×（2×3）= 0（提公共方程的系数的方法分解因子的左侧）
∴ X = 0或2x +3 = 0（分为两个线性方程）
∴X1 = 0，X2 = - 是解决原方程
注：有些学生对这个问题容易失去x = 0的该溶液中，应该记住的二次方程有两种解决方案。
（3）的解决方案：6×2 5 X-50 = 0
（2×5）（3×10）= 0（交叉乘以分解，要特别注意的符号不出差错）
∴2X-5 = 0或3x +10 = 0
∴X1 = X2 = - 是原方程的解决方案。 />（4）溶液的2倍-2（+）×4 = 0（∵可以被分解成2·2，∴此标题因子分解法）
（2）（- 2）= 0 ∴X1 = 2，X2 = 2是解决原方程
总结：
一般解决方案的二次，或分解方法在应用程序中最常用的方法时，分解方法，船舶必须写在方程船舶
形式，而二次项系数为正数。
开平直接的方法是最基本的方式
公式法和方法的完成公式法的最重要途径是一元二次方程的（有人称之为普遍规律），使用公式
法律，必须采取原方程为一般形式，以确定的系数，计算公式应该在前面的价值判别
以确定方程解。“
配方法是推导公式的工具，主公式法后可以直接使用公式法求解一元二次方程，它是一般的方法
求解一元二次方程，但与方法，具有广泛的应用在其他数学知识的学习，初中需掌握三个重要的数学方面 BR />法律，我们必须掌握三个重要的数学方法替代方法，待定系数法。
5例。解下列方程，使用适当的方法（可选） />（1）4（2）2-9（3）2 = 0（2）X +（2 - ）×+ -3 = 0 >（3）的2倍，2× = - （4）4MX 4X2-10X + M2 +5 M +6 = 0
分析：（1）第一个主题应该观察是否特点，不盲目先做乘法观察发现，左>（3方面的方程可以是平方差/>式分解成两个，由于不同的产品。
（2）可以使用十字相乘法分解的等式的左侧。方程4×2-2（3219米5）的变形）到公式法的一般形式的解。
（4）X +（2米）（米3）= 0，则可以是使用十字相乘法分解。
（1）解决方案：第（x +2）2-9（X-3）2 [2（X +2）+3（X = 0
-3 ）] [2（2）-3（3）] = 0
（5×5）（-13）= 0
5倍-5 = 0或-13 = 0∴X1 = 1，χ2= 13 <br解决方案（2）：2 +（2 - ）×+ -3 = 0
[ - （-3）]（- 1）= 0
-（-3）= 0或x-1 = 0
∴X1 = -3，2倍= 1
（3）溶液的2倍-2 = -
X2-2 X + = 0（成一般形式）
△=（-2）2-4 = 12-8 = 4> 0
∴X =
>∴X1，X2 =
（4）解决方案：4X2-4MX-10X + M2 +5 M +6 = 0
4X2-2（3219米+5）+（M +2）（米3）[2倍（米2）] [2倍（米3）] = 0 /> 2倍（米2）= 0或2x-（米3）= 0 = 0 BR />∴X1 = X2 =
例6方程3（X +1）2 +5（X +1）（X-4）+2（X-4）2 = 0两个（选择）
：如果你做的第一和复旧，乘法，这个方程的一般形式合并同类项将更加复杂，仔细观察的主体，我
发现，如果在x + 1 X-4，分别作为一个整体，然后在左边的方程可以被用于交叉相位乘法因子分解（实际使用
）溶液：3（ X +1）2（4）] [（1）+（4）] = 0 />（5×5）（2×3）= 0
∴5（的x 1）∴-1 = 0或2x - 3 = 0，（2×3）= 0 （1）（2×3）= 0
∴X1 = 1，2倍=原来的方程是解决。
相对于x的一个二次方程式的求解方法与例7中的2倍+ + Q = 0
溶液：X2 +像素像素+ q = 0时，可以变形为/>的2倍+像素=-q（无的右手侧的方程的常数项）
的2倍+像素+（2）=-Q +（2） （方程的系数的一半的平方）
（+）=（公式）
当P2-4q的≥0，≥0（P2 4q的必须分类讨论的两侧）
∴X = - + =
∴X1 = X2 =
当P2-4Q <0，<0原方程没有实根。
说明：字母系数方程，P，Q标题不附带任何条件，因此，解决问题的过程中的问题，应该注意字母
值？要求，必须分类讨论。
做法：
（a）是适当的方式来解决以下公式：
6X2-X-2 = 0 2（5）（X-5）= 3
3。X2-X = 0 4 X2-4X +4 = 0
5。为3x2 + 1 = 2×（2 +3）2 +5（2 +3）-6 = 0
（二）解决了以下的x方程
1.x2-AX + B2 = 0 2。X2-（+）AX + A2 = 0
做法。参考答案：
（一）1.x1 = - X2 = 2.x1 = 2，X2 = -2
3.x1 = 0，X2 = 4.x1 = X2 = 2 5.x1 = X2 =
6。解决方案：（2X +3整体而言，方程因子分解的左侧）
[（2×3）6] [（2×3）-1] = 0
（2×9）（2×2）= 0
∴2个+9 = 0或2x +2 = 0 ∴X1 = - ，X2 = -1是原方程的解决方案。
（二）1。解决方案：2倍斧+（+）（ - ）= 0的解决方案：-（+）斧+一·一= 0
[（+）] [-（二）] = 0（ XA）（XA）= 0
∴-（+）= 0或x-（ - ）= 0× - 一= 0或XA = 0 ∴，X1 = X2 =-B是∴X1 = 2 = a是原方程
原方程的解。
测试
多项选择题
方程×（X-5）= 5 （X-5）根（多项式A2 +4 A-）
A X = 5 B，X = -5°C，X1 = X2 = 5 D，X1 = X2 = -5
2。 10值等于11，则值（） A，B，C 3 -3或7或-7，-3，-7
如果一元二次方程AX2 + BX + C = 0在第二系数，系数和常数项为零，则方程一定是
根（）。
A，B，1 C，-1 D±1
> 4。二次方程ax 2 + BX + C = 0有一个根是零（）。
A，B≠0和c = 0，B，B = 0和c≠0
C B = 0，C = 0 D C = 0
5。方程X2-3X = 10两个根（）
A -2,5 B，2，-5℃，2,5，-2 ，-5
6。方程x2-3X +3 = 0解（）。
A，B，C，D，有没有真正的根
7方程2X2-0.15 = 0解决方案（）
A X =宽x = -
C，X1 = 0.27，X2 = -0.27 D，X1 = X2 = -
8。方程X2-X-4 = 0左边配成完全平方式，所得到的方程是（）。
A（X-）= B（X）2 = - C，（）2 = D，没有
已知一元二次方程X2-2X-M = 0，解方程公式方程（）的方法。
A，（X-1）2 = M2 +1上述答案B，（X-1）2 = m-1的C，（X-1）2 = 1-M D（X-1）2 = m +1个
答案解析
回答：1 。2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析：BR /> 1：移：（X-5）= 0，则X1的= X2 = 5，/>附注：方程两侧不容易划分由郑氏的二次方程必须有两个实根。
分析：从问题是：A2 +溶液是4-10 = 11 = 3或= -7。
分析：为每个问题：一个+ b的+ c的= 0时，等式左侧的一个+ B + C，且具只当x = 1，AX2 + BX + C = A + B + C，这意味着，当x = 1
等式成立，必须铲除X = 1
4：一元二次方程式AX2 + BX + = 0，如果根为零，/>斧2 + bx + c的存在一个因子x，只有c = 0时，有一个共同的x的除数，使C = 0。 BR />此外，您也可以取代x = 0处取得C = 0，更简单！分析：原方程变为X2-3X-10 = 0，
（5 ）第（x +2）= 0
X-5 = 0或x + 2 = 0
X1 = 5，X2 = -2。
6：Δ= 9-4×3。 = -3 <0时，原方程没有实根。
7。：2×2 = 0.15
X2 =
=±
请注意，彻底简化，并支付注意直接的平方根，不要失去了根。
8。：两边乘以3：X2-3X-12 = 0，然后按照系数公式X2-3X +（ - ）2 = 12 + （ - ）2，
整理为：（ - ）2，=
方程的可以用公式变形性质，X2-BX配方，配方的产品为第一系数的一半的平方-B
9。分析：X2-2X = M，那么X2-2X +1 =（M +1）
（X-1）= M +1。
测试解决
考试评论
1（河南）由于XA二次方程的根 - 2，那么K = __________
评论：K = 4到x = -2代入原方程是构造一个二次方程K，然后解决。
2（西安的直接开平市），解方程的方法（X-3）2 = 8是方程的根（）
（ A）X = 3 +2（B）X = 3-2
（C）X1 = 3 +2，X2 = 3-2（D）X1 = 3 +2，X2 = 3-2
a>评论：解方程的方法可以直接解决，或者不计算使用一元二次方程的解决方案，那么就必须有两个解决方案和8平方米
根，你可以选择一个答案。
课外的一元二次方程，一元二次方程扩张
（一元二次方程的一个变量）是含有最高长期是一个未知的未知
整式方程。一般形式
AX2 + BX + C = 0中，（a≠0）
大约在公元前第二个千年，一元二次方程，其解决方案已经出现在了古巴比伦人挡泥板仪器：找到一个数字使
倒数的数量等于一，得到X，这样
= 1 X + = b的，/>的2倍-BX 1 = 0，
（2）;使然后得出答案：+ - 可见巴比伦人已经知道二次的
方程求根公式，但他们不接受否定，所以负根不提。
埃及纸莎草纸文书还涉及最简单的一元二次方程，例如：AX2 = B。
公元前4,5世纪，中国已经掌握了一元二次方程的求根公式希腊丢番图（246 - 330），但只有采取积极的二次方程根，即使在面对两个正根的情况下，他只是其中之一。
公元628年，来自印度的婆罗摩笈多书面婆罗洲山校正系统，二次方程x2 + PX + Q = 0根公式中的“代数”阿拉伯的Al花拉子米方程的解，并讨论解决二次方程式，其中涉及到六种不同的形式，订购，B，C为正数，如铝AX2 = BX，AX2 = C，AX2 + C = BX，斧头2 + BX = C，AX2 = bx + c的，依此类推。二次方程分为不同形式的讨论，按照不定实践的。花拉子米除了给定的一元二次方程，一些特殊的解决方案，第一
二次方程的一般解，认识到方程有两个根，无理根存在，但她并没有虚根了解16世纪意大利数学家谁知道三次方程应用到复杂的根。
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