求 sin2 10°+ cos2 40°+ sin10°cos40°的值 用三种以上的解法 写出解答过程和解答思路

Question

求sin2 10°+cos2 40°+sin10°cos40°的值 .答案是34.
请看(1)求sin2 20° +cos2 50° +sin20°cos50°的值 ;
(2 )求cos2 73° +cos2 47° +cos 73°cos 47°的值 .答案都是34,
与课本上的例 题一样 ,这是巧合还是有规律 ? 如果把题目中的两个角的大小随意改变一下 ,计算结果仍会是 34吗 ?

求详细情况，最好写上运用的知识定理 并且评论优劣

谢谢 感之不尽！！

Answer 1

解析，
sin²10º+cos²40º+sin10º*cos40º
=1/2*(1-cos20º)+1/2*(cos80º+1)+1/2*[sin(10º+40º)+sin(10º-40º)]
=1/2*(cos80º-cos20º)+1/2*sin50º+3/4
=-*sin50º*sin30º+1/2*sin50º+3/4
=3/4.
同理，sin²20º+cos²50º+sin20º*cos50º
=1/2*(1-cos40º)+1/2*(cos100º+1)+1/2*[sin(20º+50º)+sin(20º-50º)]
=1/2*(-cos40º+cos100º)+1/2*sin70º+3/4
=3/4
【规律】当满足b-a=30°时，sin²a+cos²b+sina*cosb=3/4。
证明：
sin²a+cos²b+sina*cosb
=1/2*(1-cos2a)+1/2(1+cos2b)+1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
=1+1/2*[cos(2b)-cos(2a)]+1/2*sin(a+b)+1/2*sin(a-b)
=-sin(a+b)sin(b-a)+1/2*sin(a+b)+1/2*sin(a-b)+1，
把b-a=30°代人，
原式=1/2*sin(a+b)+1/2*sin(a+b)+3/4
=3/4，
即是，只要当b-a=30°时，sin²a+cos²b+sina*cosb=3/4一定成立。
【检验】
cos²73º+cos²47º+cos73º*cos47º
=sin²17º+cos²47º+sin17º*cos47º
a=17º，b=47º，b-a=30º，
那么，sin²17º+cos²47º+sin17º*cos47º=3/4.
也就是，
cos²73º+cos²47º+cos73º*cos47º=3/4.

Answer 2

一般情况
两个角 a 60°-a
则sin^2a+sin^2( 60°-a)+sina*sin( 60°-a)=3/4
证明：
sin^2a+sin^2( 60°-a)+sina*sin( 60°-a)
=(1-cos2a)/2+(1-cos(120°-2a))/2+sina(sin60°cosa-cos60°sina)
=1-1/2cos2a-1/2[cos120°cos2a+sin120°sin2a]+√3/2sinacosa-1/2sin^2a
=1-1/2cos2a+1/4cos2a-√3/4sin2a+√3/4sin2a-1/4(1-cos2a)
=1-1/2cos2a+1/4cos2a-√3/4sin2a+√3/4sin2a-1/4+1/4cos2a
=1-1/4
=3/4

sin2 10°+cos2 40°+sin10°cos40°
=sin2 10°+sin2 50°+sin10°sin50°=3/4 (10°，60°-10°)

(1) sin2 20° +cos2 50° +sin20°cos50°
=sin2 20° +sin2 40° +sin20°sin40° (20°，60°-20°)
=3/4

(2 ) cos2 73° +cos2 47° +cos 73°cos 47°
=sin2 17° +sin2 43° +sin17° sin43° (17°，60°-17°)

结论： 不是任意2个角，必须是和为60°的两个角本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

归纳总结下 可以发现 cos后面的角度-sin后面的角度=30度
可以大胆假设 sin²a+cos²(a+30)+sinacos(a+30)=3/4

sin²a+cos²(a+30)+sinacos(a+30)=sin²a+3/4cos²a+1/4sin²a-根号3/2sinacosa+根号3/2sinacosa-1/2sin²a=3/4(sin²a+cos²a）=3/4

Answer 4

答案肯定是错的！！！！！！！！！！
sin2 10°+cos2 40°+sin10°cos40°的答案小于3，请确认。因为sin x 一定小于等于1.

Answer 5

的值 过程、、谢谢 ∵sin10° = cos 80°∴ 原式 = 3/（cos80°*sin40°^2)--1/(cos80°*cos40^2) = (3cos40°^2 - sin10°^2)