如何利用极坐标方程求曲面的体积分

Question

如题所述

Answer 1

首先将两个方程并列找出两个曲面相交的曲线.通过消去z,我们得到：8-x²-y²=x²+y²
x²+y²=4

所以,此曲线位于半径为2的圆柱面上.那么x和y的积分限很容易就找到了：x²+y²=4
要找到z的积分限,就需要知道两个曲面哪个在上面,哪个在下面.因为所包的体积在圆柱内部,所以要求x²+y²<4.用这个条件,我们发现8-x²-y²>x²+y²,即z=8-x²-y²在上面,z=x²+y²在下面.
根据上面的讨论,我们就可以写出体积分：
V=∫∫dxdy∫_(x²+y²)^（8-x²-y²)dz
这里我用符号_(x²+y²）来表达z积分的下限,^(8-x²-y²)表达z积分的上限.(记住xy积分限是圆形x²+y²=4.)
对z的积分很容易：
∫_(x²+y²)^（8-x²-y²)dzdz=8-x²-y²-（x²+y²）=8-2x²-2y²
剩下的就是对xy的两重积分.
V=∫∫(8-2x²-2y²)dxdy
这个积分最容易在极坐标里做.变换为极坐标时,x²+y²=r²,dxdy=rdrdφ.积分限为r从0到2,φ从0到2π.
V=∫∫(8-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(8-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ
两个积分各为：
∫_0^(2π)dφ=2π
∫_0^1(2-2r²)rdr=4r²-(1/2)r^4|_0^2=16-8=8
V=8*2π=16π
所以体积是16π.