解:17、双曲线和椭圆的焦点都在y轴上。设双曲的标准方程为y^2/a^2-x^2/b^2=1......(1); 椭圆方程为:x^2/b1^2+y^2/a1^2=1......(2);对于椭圆:2C=|F1F2 |=5+5=10;对于双曲线a^2=c^2-b^2, 对于椭圆,a1^2=c^2+b1^2;双曲线的渐近线为:y^2/a^2-x^2/b^2=0....(3);将点P 代入(3), 得:(4b)^2=[3√(c^2-b^2) ]^2; b^2=(5^2/5^2) =1; a^2=5^2-1=24;双曲线方程为:x^2 /24-y^2=1..(4)。将点P代入(2)3^2/b1^2+4^2/ (10^2+b1^2)=1; 方程两边同时乘以b1^2(10^2+b1^2) ,得: 9*(10^2+b1^2)+16b1^2=b1^2(10^2+b1^2) ; 整理,得:b1^4+75b1^2-9*10^2=0; △=75^2+4*9*4^2*25^2=75^2(1+4^3)=75*65; b1^2=(-75+75√65)/2(负值舍去); a1^=10^2+(-75+75√65)/2=(125+75√65)/2; 椭圆方程为:y^2/[(125+75√65)/2]+x^2/[(75√65-75)/2]=1。
19、将L代入抛物线方程中,(x+m)^2=8x, 即:x^2+(m-8)x+m^2=0.....(1) △=(m-8)^-4m^2=m^2-16m+64-4m^2=-3m^2-16m+64=-3{[m^-16m/3+(16/6)^2]-(8/3)^2-64/3} =-3[(m-8/3)^2-(64/3)(1/3+1)]=-3[(m-8/3)+16/3][(m-8/3)-16/3]=-3(m+8/3)(m-8)>=0 , (m+8/3)(m-8)<=0; m+8/3<=0, 同时,m-8>=0; m<=-8/3,m>=8;矛盾,舍去;m-8<=0, m+8/3>=0; 解得:m的取值范围为 :-8/3<=m<=8....(2); x1,2=[8-m+/-√(-3m^2-16m+64)]/2.....(3);将(3)代入L:y=x+m, y1,2=[8-m+/-√(-3m^2-16m+64)]/2+m=[8+m+/-√(-3m^2-16m+64)]/2, 令x1,2=p+/-r,y1,2=q+/-r.有:(x1-x2)^2+(y1-y2)^=[(p+r)-(p-r)]^2+[(q+r)-(q-r)]^2=2(2r)^2=2[2√(-3m^2-16m+64)/2]^2 =2(3m^2+16m-64)=10^2, 3m^2+16m-114=0;
△=16^2-4*3*(-114)=8(32+3*57)=8*203=4*406; m1,2=(-16+/-2√406)/(2*3)=(-8+/-√406)/3。 验证:(-8-√406)/3<-28/3<-8/3, 在(2)的范围之外,不合题意,舍去。m=(√406-8)/3<8。
20、已知:(1)双曲线过点P(3√2,4);渐近线方程y=+/-4x/3=+/-bx/a, 4a=3b, a=3b/4.....(i); x^2/a^2-y^2/b^2=(-3√2)^2/(3b/4)^2-4^2/b^2=2*4^2/b^2-16^2/b^2=4^2/b^2=1, b^2=4^2=16. a=3b/4=3*4/4=3, 双曲线的方程为x^2/9-y^2/16=1....(ii)。
(2) 见下图,双曲线的方程为:x^2/9-y^2/16=1;c=√(a^2+b^)=√(9+16)=5,焦点F1和F2分别在点(-5,0)和(5,0),设P点坐标(x,y),|PF1 |*|PF2 |=41;根据抛物线定义,| PF1-PF2|=2a,(PF1-PF2)^2=PF1^2+PF2^2-2PF1*PF2=4a^2=4*9=36; PF1^2+PF2^2=36+2*41=118; 根据余弦定理:cos∠F1PF2=(PF1^2+PF2^2-F1F2^2)/(2*41)=(118-10^2)/82=18/82=9/41。
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