已知：在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、C在坐标轴上运动，且∠ACB=90°，AC=BC．（1）如图1，当

Question

已知：在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、C在坐标轴上运动，且∠ACB=90°，AC=BC．（1）如图1，当A（0，-2），C（1，0），点B在第四象限时，则点B的坐标为______；（2）如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴上运动，点B在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断OC+BDOA与OC?BDOA哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的结论．（3）如图3，当点C在y轴正半轴上运动，点A在x轴正半轴上运动，使点D恰为BC的中点，连接DE，求证：∠ADC=∠BDE．

Answer 1

（1）作BD⊥CD，

∵∠OCA+∠DCB=90°，∠OAC+∠DCB=90°，
∴∠OAC=∠DCB，
∵在△OAC和△DCB中，

∠AOC＝∠CDB ∠OAC＝∠DCB AC＝BC

，
∴△OAC≌△DCB，（AAS）
∴CD=OA=2，BD=OC=1，OD=3，
∴B点坐标为（3，-1）；
（2）作BE⊥OC，则四边形ODBE为矩形，

∵∠ACO+∠BCO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCO=∠CAO，
∵△OAC和△ECB中，

∠AOC＝∠CEB ∠OAC＝∠ECB AC＝BC

，
∴△OAC≌△ECB，（AAS）
∴EC=OA，
∵四边形ODBE为矩形，
∴OE=BD，
∵OC=OE+EC，
∴OC=AO+BD，
∴

OC?BD

OA

存在定值，且为1；
（3）过点B作BG⊥BC交y轴于点G，

∴∠CBG=∠ACD=90°，
∵∠BCG+∠ACG=90°，∠ACO+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠CAO．
在△BCG和△CAD中，

∠DCO＝∠CAO BC＝AC ∠CBG＝∠ACD＝90°

，
∴△BCG≌△CAD（ASA），
∴BG=CD=BD．
∵∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠EBG=∠DBE=45°，
在△DBE和△GBE中，

BD＝BG ∠DBE＝∠GBE BE＝BE

，
∴△DBE≌△GBE（SAS），
∴∠BDE=∠BGE，
∵∠BCG+∠BGE=90°，∠BCG+∠ADC=90°，
∴∠BGE=∠ADC，
∴∠ADB=∠CDE．